На горизонтальном столе находится брусок массой $M=1$ кг, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой $m=500$ г. На брусок действует сила величиной $F=9$ Н, направленная под углом $\alpha=30^\circ$ к горизонту (см. рисунок). В момент начала движения груз находится на расстоянии $L=40$ см от края стола. За какое время $t$ груз поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом $\mu=0{,}3$? Сделайте схематичный рисунок с указанием сил, действующих на брусок и груз. Трением в оси блока и трением о воздух пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной со столом. Будем применять для груза и бруска второй закон Ньютона, справедливый для материальных точек, поскольку тела движутся поступательно.
2. На рисунке показаны силы, действующие на брусок и груз. Так как нить нерастяжима, ускорения бруска и груза равны по модулю:
$$|\vec a_1|=|\vec a_2|=a.\quad(1)$$
3. Так как блок и нить невесомы и трение в оси блока, а также трение о воздух отсутствует, то силы натяжения нити, действующие на груз и брусок, одинаковы по модулю:
$$T_1=T_2=T.\quad(2)$$
Решение
1. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ выбранной системы координат для каждого тела. С учётом (1) и (2) получим:
для бруска:
$Ox: F\cos\alpha-T-F_{\text{тр}}=Ma$, $Oy: N+F\sin\alpha=Mg$;
для груза:
$Oy: T-mg=ma$.
При этом модуль силы трения, действующей на брусок, $F_{\text{тр}}=\mu N$.
Решив полученную систему уравнений, найдём модуль ускорения тел:
$$a=\dfrac{F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)-mg-\mu Mg}{M+m}.$$
2. Так как начальная скорость груза была равна нулю, $L=\dfrac{at^2}{2}$.
3. Окончательно получим:
$$t=\sqrt{\dfrac{2L}{a}}=\sqrt{\dfrac{2L(M+m)}{F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)-mg-\mu Mg}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}4\cdot(1+0{,}5)}{9(\sqrt3/2+0{,}3\cdot0{,}5)-0{,}5\cdot10-0{,}3\cdot1\cdot10}}\approx1\text{ с}.$$
Ответ: $t\approx1$ с.