Однородный брусок $AB$ массой $M$ постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину (см. рисунок). К правому концу бруска прикреплена невесомая нерастяжимая нить. Другой конец нити закреплён на меньшем из двух дисков невесомого составного блока. На большем диске этого блока закреплена другая невесомая нерастяжимая нить, на которой висит груз массой $m$. Диски скреплены друг с другом и образуют единое целое, $R=12$ см, $r=8$ см. Найдите минимальное значение отношения $\dfrac{M}{m}$, при котором система тел остаётся неподвижной. Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на брусок, груз и блок.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, и будем считать её инерциальной (ИСО).
2. Опишем брусок и составной блок моделью абсолютно твёрдого тела (АТТ).
3. Так как и брусок, и блок находятся в равновесии, для них справедливо условие равновесия АТТ относительно вращательного движения: сумма моментов всех внешних сил равна нулю. Для блока запишем моменты внешних сил относительно оси, проходящей через точку закрепления блока $O$ перпендикулярно плоскости рисунка, для бруска — относительно оси, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка.
4. Груз может двигаться только поступательно вдоль вертикальной оси $Oy$, лежащей в плоскости рисунка. Поэтому для груза используем модель материальной точки и применим второй закон Ньютона. Вследствие этого условие равновесия — сумма приложенных к грузу сил равна нулю.
5. Поскольку нити невесомы, блок невесом, трением в оси блока можно пренебречь, то величина силы натяжения каждой нити в любой её точке одна и та же, в частности $T_1 = T_3$ и $T_2 = T_4$.
Решение
1. Силы, действующие на брусок, блок и груз, показаны на рисунке для случая, когда масса груза максимальна (или масса бруска минимальна), и поэтому брусок ещё покоится на столе, но касается стола только в точке $A$. Поэтому сила $\vec N$ приложена к бруску в точке $A$ и направлена вертикально вверх, так как поверхность стола гладкая (трения нет).
2. Запишем уравнение моментов сил для бруска в момент, когда он покоится, касаясь стола только в точке $A$:
$$T_1\cdot AB - Mg\cdot\dfrac{AB}{2} = 0,$$
откуда
$$T_1 = \dfrac{Mg}{2}.$$
3. Запишем второй закон Ньютона для покоящегося груза в проекциях на ось $Oy$ введённой ИСО:
$$T_2 - mg = 0,$$
откуда
$$T_2 = mg.$$
4. Условие равновесия блока относительно оси, проходящей через точку $O$:
$$T_3\cdot r = T_4\cdot R.$$
С учётом того, что $T_1 = T_3$, $T_2 = T_4$ получим:
$$T_1\cdot r = T_2\cdot R.$$
5. Подставив в это равенство результаты п. 2 и 3, получим:
$$\dfrac{Mg}{2}\cdot r = mg\cdot R.$$
Отсюда
$$\dfrac{M}{m} = \dfrac{2R}{r} = \dfrac{2\cdot0{,}12}{0{,}08} = 3.$$
Ответ: $\min\dfrac{M}{m} = 3$.