Небольшое тело массой $M=0{,}99$ кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом $R$. В тело попадает пуля массой $m=0{,}01$ кг, летящая горизонтально со скоростью $v_0=200$ м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите радиус полусферы $R$, если известно, что высота, на которой это тело оторвётся от поверхности полусферы, составила $h=1$ м. Высота отсчитывается от основания полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Тела можно считать материальными точками, так как их размеры пренебрежимо малы в условиях задачи.
2. При соударении для системы «пуля — тело» в ИСО выполняется закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную ось, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) вертикальны.
3. При движении составного тела от вершины полусферы выполняется закон сохранения механической энергии, так как полусфера гладкая, и работа силы реакции опоры равна нулю (эта сила перпендикулярна скорости тела).
4. В момент отрыва обращается в нуль сила реакции опоры $\vec N$.
5. Второй закон Ньютона выполняется в ИСО для модели материальной точки.
Решение
1. Закон сохранения импульса связывает скорость пули перед ударом со скоростью составного тела массой $m + M$ сразу после удара: $mv_0 = (m + M)v_1$.
Закон сохранения механической энергии связывает скорость составного тела сразу после удара с его скоростью в момент отрыва от полусферы:
$$\dfrac{(m + M)v_1^2}{2} + (m + M)gR = \dfrac{(m + M)v_2^2}{2} + (m + M)gR\cos\alpha,$$
где $v_2$ — скорость составного тела в момент отрыва; $h = R\cos\alpha$ — высота точки отрыва (см. рисунок).
2. Второй закон Ньютона в проекциях на ось $x$ (направленную в центр полусферы), в момент отрыва тела принимает вид:
$$(m + M)g\cos\alpha = \dfrac{(m + M)v_2^2}{R}.$$
3. Объединяя уравнения, получим:
$$\dfrac{v_1^2}{2} + gR = \dfrac{3}{2}gh.$$
Отсюда $R = \dfrac{3}{2}h - \dfrac{1}{2g} \cdot \left(\dfrac{mv_0}{M + m}\right)^2 = \dfrac{3}{2} \cdot 1 - \dfrac{1}{2 \cdot 10} \cdot \left(\dfrac{0{,}01 \cdot 200}{0{,}99 + 0{,}01}\right)^2 = 1{,}3$ м.
Ответ: $R = 1{,}3$ м.