К концам невесомого рычага подвесили за невесомые нерастяжимые нити два сплошных груза массами 1,28 кг и 0,32 кг и привели рычаг в состояние равновесия. Затем рычаг с грузами расположили над водой так, что оба груза целиком оказались под водой. Первоначальное расстояние от более тяжёлого груза до точки опоры равно 20 см. Определите, на сколько необходимо переместить точку опоры для сохранения равновесия, если объёмы обоих грузов одинаковы и равны 200 см³. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на рычаг, для двух случаев, а также на погружённые в воду грузы.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Опишем рычаг моделью абсолютно твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Сумма приложенных к абсолютно твёрдому телу внешних сил равна нулю, так как тело не совершает поступательного движения.
4. Сумма моментов внешних сил относительно осей, проходящих через точки $O_1$ и $O_2$ перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю, так как тело не совершает вращательного движения.
5. Грузы на нитях могут двигаться только поступательно, поэтому опишем грузы моделью материальной точки и используем второй закон Ньютона.
6. Нити невесомы, поэтому натяжение каждой нити всюду одинаково.
7. Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми взаимодействуют грузы, нити и рычаг, равны по модулю и направлены в противоположные стороны.
Решение
1. Начальное условие равновесия:
$$P_1l_1 = P_2l_2,\quad(1)$$
где $\vec P_i$ — силы, с которыми нити действуют на рычаг, $l_i$ — плечи сил.
На каждый груз действуют только сила тяжести $m\vec g$ и сила реакции подвеса $\vec N$. В равновесии по второму закону Ньютона $N = mg$. Пусть $T$ — модуль силы натяжения нити. Поскольку нити невесомы, по третьему закону Ньютона $P = T$, $T = N$. Поэтому $P = mg$.
2. Когда грузы находятся в воде, на них действует архимедова сила $\vec F_{\text{Арх}}$, и в равновесии $N' = mg - F_{\text{Арх}}$, откуда $P' = mg - F_{\text{Арх}} = P - F_{\text{Арх}}$.
3. Под действием сил $\vec P_1$ и $\vec P_2$ рычаг находился в равновесии. В результате погружения грузов в воду обе силы уменьшились на одну и ту же величину $F_{\text{Арх}} = \rho gV$, где $\rho$ — плотность воды, $V$ — объём груза. Значит, бо́льшая сила изменилась на меньшую относительную величину. Следовательно, для сохранения равновесия рычага в новых условиях надо уменьшить плечо большей силы.
Условие равновесия рычага в конечном состоянии: $P_1'(l_1 - \Delta l) = P_2'(l_2 - \Delta l)$, или
$$(P_1 - F_{\text{Арх}})(l_1 - \Delta l) = (P_2 - F_{\text{Арх}})(l_2 + \Delta l).\quad(2)$$
4. Из (1) и (2) найдём выражение для искомого расстояния $\Delta l$:
$$\Delta l = \dfrac{l_1F_{\text{Арх}}((P_1/P_2) - 1)}{(P_1 + P_2 - 2F_{\text{Арх}})} = \dfrac{l_1\rho V[(m_1/m_2) - 1]}{(m_1 + m_2 - 2\rho V)} = \dfrac{0{,}2 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \cdot [(1{,}28/0{,}32) - 1]}{(1{,}28 + 0{,}32 - 2 \cdot 10^3 \cdot 2 \cdot 10^{-4})} = 0{,}1\text{ м}.$$
Ответ: $\Delta l = 0{,}1$ м.