По горизонтальным шероховатым рельсам с пренебрежимо малым электрическим сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня сопротивлением $R=0{,}1$ Ом каждый. Расстояние между рельсами $l=10$ см. Рельсы со стержнями находятся в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией $B=1$ Тл (см. рисунок). Если на первый стержень действует горизонтальная сила величиной $F=0{,}1$ Н, направленная вдоль рельсов, то оба стержня движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь.
Решение
Возможное решение.
1. При движении стержней с разными скоростями изменение потока вектора магнитной индукции, пронизывающего контур, за промежуток времени $\Delta t$ определяется по формуле:
$$\Delta\Phi=Bl(v_1-v_2)\Delta t=Blv_{\text{отн}}\Delta t,$$
что приводит к возникновению в контуре ЭДС индукции.
Согласно закону Фарадея $\mathscr{E}=-\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}=-Blv_{\text{отн}}$. Здесь мы пренебрегли самоиндукцией контура.
2. В соответствии с законом Ома для замкнутой цепи в контуре течёт ток
$$I=\dfrac{|\mathscr{E}|}{2R}=\dfrac{Blv_{\text{отн}}}{2R}.$$
3. На проводники с током в магнитном поле действуют силы Ампера $\vec F_1$ и $\vec F_2$, $F_1=F_2=IBl$, как показано на рисунке. Кроме этих сил на каждый стержень действует тормозящая сила трения $\vec F_{\text{тр}}$.
Так как стержни движутся равномерно, сумма сил, приложенных к каждому стержню, равна нулю: $F-F_1-F_{\text{тр}}=0$, $F_2-F_{\text{тр}}=0$. Отсюда получим: $F=2F_1=\dfrac{(Bl)^2}{R}v_{\text{отн}}$.
Следовательно,
$$v_{\text{отн}}=\dfrac{FR}{(Bl)^2}=\dfrac{0{,}1\cdot0{,}1}{(1\cdot0{,}1)^2}=1\ \text{м/с}.$$
Ответ: $v_{\text{отн}}=1$ м/с.