Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. Внутреннее сопротивление источника $r=2$ Ом. Сопротивление реостата можно изменять непрерывно в пределах от 1 до 5 Ом. Максимальная тепловая мощность тока $P_{\max}$, выделяемая на реостате, равна 4,5 Вт. Какая тепловая мощность будет выделяться на реостате при его максимальном сопротивлении?
Решение
Возможное решение.
Запишем законы Ома для полной цепи и участка цепи:
$\mathcal{E} = I(R + r) = IR + Ir$, откуда $U = IR = \mathcal{E} - Ir$, где
$\mathcal{E}$ — ЭДС источника,
$I$ — сила тока в цепи,
$R$ — сопротивление реостата,
$r$ — внутреннее сопротивление источника,
$U$ — напряжение на реостате.
Мощность, выделяемая на реостате, определяется формулой $P = IU = I(\mathcal{E} - Ir) = I\mathcal{E} - I^2 r$. График зависимости $P(I)$ является параболой, ветви которой направлены вниз (см. рисунок). Мощность, выделяемая на реостате, обращается в нуль при $I_1 = 0$ и $I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{r}$.
Поэтому максимум функции $P(I)$ достигается при $I = \dfrac{\mathcal{E}}{2r}$.
$P_{\max} = \dfrac{\mathcal{E}^2}{4r} = 4{,}5$ Вт. Отсюда: $\mathcal{E} = 2\sqrt{r \cdot P_{\max}} = 2\sqrt{2 \cdot 4{,}5} = 6$ В.
В итоге тепловая мощность, выделяющаяся на реостате при его максимальном сопротивлении, будет определяться формулой:
$$P = \dfrac{\mathcal{E}^2 R_{\max}}{(R_{\max} + r)^2} = \dfrac{6^2 \cdot 5}{(5 + 2)^2} \approx 3{,}7\ \text{Вт}.$$
Ответ: $P \approx 3{,}7$ Вт.