Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. Внутреннее сопротивление источника $r=2$ Ом. Сопротивление реостата можно изменять непрерывно в пределах от 1 до 5 Ом. Максимальная тепловая мощность тока $P_{\max}$, выделяемая на реостате, равна 4,5 Вт. Какая тепловая мощность будет выделяться на реостате при его максимальном сопротивлении?
Возможное решение.
Запишем законы Ома для полной цепи и участка цепи:
$\mathcal E=I(R+r)=IR+Ir$, откуда $U=IR=\mathcal E-Ir$,
где $\mathcal E$ — ЭДС источника; $I$ — сила тока в цепи; $R$ — сопротивление реостата; $r$ — внутреннее сопротивление источника; $U$ — напряжение на реостате.
Мощность, выделяемая на реостате, определяется формулой $P=IU=I(\mathcal E-Ir)=I\mathcal E-I^2r$. График зависимости $P(I)$ является параболой, ветви которой направлены вниз. Мощность, выделяемая на реостате, обращается в нуль при $I_1=0$ и $I_2=\dfrac{\mathcal E}{r}$.
Поэтому максимум функции $P(I)$ достигается при $I=\dfrac{\mathcal E}{2r}$.
$P_{\max}=\dfrac{\mathcal E^2}{4r}=4{,}5$ Вт. Отсюда: $\mathcal E=2\sqrt{r\cdot P_{\max}}=2\sqrt{2\cdot4{,}5}=6$ В.
В итоге тепловая мощность, выделяющаяся на реостате при его максимальном сопротивлении, будет определяться формулой:
$P=\dfrac{\mathcal E^2R_{\max}}{(R_{\max}+r)^2}=\dfrac{6^2\cdot5}{(5+2)^2}\approx3{,}7$ Вт.
Ответ: $P\approx3{,}7$ Вт.