До замыкания ключа $K$ в электрической цепи, изображённой на схеме (см. рисунок), идеальный вольтметр V показывал напряжение 9 В. После замыкания ключа идеальный амперметр A показывает силу тока 0,4 А. Каково внутреннее сопротивление источника тока? Сопротивления резисторов указаны на рисунке.
Решение
Возможное решение.
1. До замыкания ключа ток в цепи отсутствует. Использовав закон Ома для полной цепи ($\mathscr{E}=I(r+R)$) и для участка цепи ($U=IR$), получим, что в общем случае вольтметр показывает напряжение $U=\mathscr{E}-Ir$.
Поэтому при разомкнутом ключе, когда $I=0$, вольтметр показывает значение ЭДС $\mathscr{E}=9$ В.$\quad(1)$
2. Сопротивление внешней цепи, подсоединённой к батарее:
$$R=R_{123}+R_{45},$$
$$\dfrac{1}{R_{123}}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}=\dfrac11+\dfrac12+\dfrac13;\ R_{123}=\dfrac{6}{11}\text{ Ом},$$
$$\dfrac{1}{R_{45}}=\dfrac{1}{R_4}+\dfrac{1}{R_5}=\dfrac14+\dfrac15;\ R_{45}=\dfrac{20}{9}\text{ Ом},$$
$$\text{тогда }R=\dfrac{20}{9}+\dfrac{6}{11}\approx2{,}77\text{ Ом}.\quad(2)$$
3. Закон Ома для полной цепи после замыкания ключа: $\mathscr{E}=I(r+R)$, где $r$ — внутреннее сопротивление источника, $I$ — сила тока через батарею.
Отсюда:
$$r=\dfrac{\mathscr{E}}{I}-R.\quad(3)$$
4. При параллельном соединении напряжения на резисторах одинаковы ($I_1R_1=I_3R_3$) и ток делится обратно пропорционально сопротивлениям ($\dfrac{I_1}{I_3}=\dfrac{R_3}{R_1}=\dfrac31=3\Rightarrow I_1=3I_3$ и т. д.),
поэтому
$$I=I_3+3I_3+1{,}5I_3=5{,}5I_3.\quad(4)$$
Подставив (1), (2), (4) в (3), находим:
$$r=\dfrac{\mathscr{E}}{5{,}5I_3}-R=\dfrac{9}{5{,}5\cdot0{,}4}-2{,}77\approx1{,}3\text{ Ом}.$$
Ответ: $r\approx1{,}3$ Ом.