Из никелиновой проволоки с удельным сопротивлением $\rho=42\cdot10^{-8}$ Ом·м и площадью поперечного сечения $S=0{,}2$ мм² изготовлен прямоугольный контур $KLMN$ с диагональю $KM$ (см. рисунок). Стороны прямоугольника $KL=l_1=20$ см и $LM=l_2=15$ см. Контур подключён за диагональ $KM$ к источнику постоянного напряжения с ЭДС $\mathcal E=3$ В и помещён в однородное магнитное поле, вектор магнитной индукции которого параллелен сторонам $KL$ и $NM$ и равен по модулю 0,5 Тл. Чему равен модуль результирующей сил, с которыми магнитное поле действует на контур? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стороны контура и его диагональ со стороны магнитного поля. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Решение
Возможное решение.
1. При подключении контура к источнику напряжения по его сторонам и диагонали потекут токи $I_1$, $I_2$ и $I_3$ (см. рисунок). Проводники $KNM$, $KLM$ и $KM$ соединены параллельно, следовательно, $I_1 = I_3 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_1}$ и $I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{R_2}$, где
$R_1 = \rho\dfrac{l_1 + l_2}{S}$ и $R_2 = \rho\dfrac{l}{S}$ $\left(KM = l = \sqrt{l_1^2 + l_2^2}\right)$ — сопротивления соответствующих проводников.
2. Со стороны магнитного поля на проводники $LM$ и $KN$, перпендикулярные индукции магнитного поля, а также на диагональ $KM$ действуют силы Ампера, модули которых: $F_1 = F_3 = BI_1l_2$ и $F_2 = BI_2l\sin(180^\circ - \alpha) = BI_2l\sin\alpha = BI_2l_2$. По правилу левой руки силы Ампера параллельны друг другу и направлены к наблюдателю. На проводники $KL$ и $NM$ силы Ампера не действуют, так как эти стороны проводника параллельны вектору $\vec B$. Таким образом, модуль результирующей сил Ампера $F = 2F_1 + F_2$.
3. Выполнив преобразования, получим:
$$F_1 = \dfrac{B\mathcal{E}Sl_2}{\rho(l_1 + l_2)}\ \text{и}\ F_2 = \dfrac{B\mathcal{E}Sl_2}{\rho\sqrt{l_1^2 + l_2^2}}.$$
В итоге: $$F = 2F_1 + F_2 = 2\dfrac{B\mathcal{E}Sl_2}{\rho(l_1 + l_2)} + \dfrac{B\mathcal{E}Sl_2}{\rho\sqrt{l_1^2 + l_2^2}} = \dfrac{B\mathcal{E}Sl_2}{\rho}\left(\dfrac{2}{l_1 + l_2} + \dfrac{1}{\sqrt{l_1^2 + l_2^2}}\right) =$$
$$= \dfrac{0{,}5 \cdot 3 \cdot 0{,}2 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}15}{42 \cdot 10^{-8}}\left(\dfrac{2}{0{,}2 + 0{,}15} + \dfrac{1}{\sqrt{0{,}2^2 + 0{,}15^2}}\right) \approx 1\text{ Н}.$$
Ответ: $F \approx 1$ Н.