Возможное решение.
1. Относительная влажность воздуха определяется отношением парциального давления водяного пара $p_\text{п}$ к давлению насыщенных паров воды $p_\text{нас}$ при той же температуре:
$$\varphi=\dfrac{p_\text{п}}{p_\text{нас}}.$$
2. В начальном состоянии давление в сосуде под невесомым поршнем равно атмосферному давлению $p_0$.
3. Если масса поршня вместе с песком становится равна $m$, то давление в цилиндре под поршнем равно $p_0+\dfrac{mg}{S}$, а относительная влажность воздуха — 100 %.
4. Температура влажного воздуха в процессе не меняется, следовательно, в соответствии с законом Бойля — Мариотта:
$$p_0V_1=\left(p_0+\dfrac{mg}{S}\right)V_2\ \text{— для влажного воздуха;}$$
$$p_\text{п}V_1=p_\text{нас}V_2\ \text{— для водяного пара.}$$
Здесь $V_1$ и $V_2$ — соответственно начальный и конечный объёмы сосуда.
5. Из двух версий записи закона Бойля — Мариотта с учётом того, что $p_\text{п}=\varphi p_\text{нас}$, получаем:
$$\dfrac{V_1}{V_2}=1+\dfrac{mg}{p_0S}=\dfrac{1}{\varphi},$$
откуда следует выражение для искомой относительной влажности воздуха:
$$\varphi=\dfrac{Sp_0}{mg+Sp_0}.$$
Ответ: $\varphi=\dfrac{Sp_0}{mg+Sp_0}$.