В бутылке объёмом 1 л находится гелий при нормальном атмосферном давлении. Горлышко бутылки площадью 2 см² заткнуто короткой пробкой, имеющей массу 20 г. Если бутылка лежит горизонтально, то для того, чтобы вытащить пробку из горлышка бутылки, не нагревая, нужно приложить к пробке постоянную силу, равную по модулю не менее 3 Н. Когда бутылку поставили на стол вертикально горлышком вверх, оказалось, что если сообщить гелию в бутылке некоторое количество теплоты $Q$, то он выталкивает пробку из горлышка. Определите минимальное значение $Q$. Модуль силы трения, действующей на пробку, считать в обоих случаях одинаковым.
Решение
Возможное решение.
1. Когда бутылка расположена горизонтально (см. рис. $a$), давление снаружи и внутри одинаково и равно атмосферному $p_0$. Поэтому при вытаскивании пробки прикладываемая извне минимальная сила согласно второму закону Ньютона уравновешивает силу трения: $F = F_{\text{тр}}$.
2. Когда бутылка расположена вертикально, а гелию в бутылке сообщено минимальное количество теплоты $Q$, в момент вылета сумма всех сил, действующих на пробку, согласно второму закону Ньютона, равна нулю, и поэтому имеет место равенство: $p_0S + F_{\text{тр}} + mg = pS$, где $p$ — давление гелия внутри бутылки, $p_0S = F_{\text{давл}}$, $pS = F_{\text{выт}}$ (см. рис. $б$).
3. Нагревание гелия происходит изохорно. Поэтому согласно первому закону термодинамики количество теплоты $Q$, сообщённое гелию, идёт на увеличение внутренней энергии гелия перед вылетом пробки $\Delta U$:
$$Q = \Delta U = \Delta\left(\dfrac{3}{2}\nu RT\right) = \Delta\left(\dfrac{3}{2}pV\right) = \dfrac{3}{2}V(p - p_0).$$
4. Из п. 2 имеем $p - p_0 = \dfrac{F_{\text{тр}} + mg}{S}$.
5. В итоге $$Q = \dfrac{3V(F_{\text{тр}} + mg)}{2S} = \dfrac{3V(F + mg)}{2S} = \dfrac{3 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \cdot (3 + 0{,}02 \cdot 10)}{2 \cdot 2 \cdot 10^{-4}} = 24\text{ Дж}.$$
Ответ: $Q = 24$ Дж.