В бутылке объёмом 1 л находится гелий при нормальном атмосферном давлении. Горлышко бутылки площадью 2 см² заткнуто короткой пробкой, имеющей массу 20 г. Если бутылка лежит горизонтально, то для того, чтобы вытащить пробку из горлышка бутылки, не нагревая, нужно приложить к пробке постоянную силу, равную по модулю не менее 3 Н. Когда бутылку поставили на стол вертикально горлышком вверх, оказалось, что если сообщить гелию в бутылке некоторое количество теплоты $Q$, то он выталкивает пробку из горлышка. Определите минимальное значение $Q$. Модуль силы трения, действующей на пробку, считать в обоих случаях одинаковым.
Возможное решение.
1. Когда бутылка расположена горизонтально (см. рис. а), давление снаружи и внутри одинаково и равно атмосферному $p_0$. Поэтому при вытаскивании пробки прикладываемая извне минимальная сила согласно второму закону Ньютона уравновешивает силу трения: $F=F_{\mathrm{тр}}$.
2. Когда бутылка расположена вертикально, а гелию в бутылке сообщено минимальное количество теплоты $Q$, в момент вылета сумма всех сил, действующих на пробку, согласно второму закону Ньютона, равна нулю, и поэтому имеет место равенство: $p_0S+F_{\mathrm{тр}}+mg=pS$, где $p$ — давление гелия внутри бутылки, $p_0S=F_{\mathrm{давл}}$, $pS=F_{\mathrm{выт}}$ (см. рис. б).
3. Нагревание гелия происходит изохорно. Поэтому согласно первому закону термодинамики количество теплоты $Q$, сообщённое гелию, идёт на увеличение внутренней энергии гелия перед вылетом пробки $\Delta U$:
$Q=\Delta U=\Delta\left(\dfrac{3}{2}\nu RT\right)=\Delta\left(\dfrac{3}{2}pV\right)=\dfrac{3}{2}V(p-p_0)$.
4. Из п. 2 имеем: $p-p_0=\dfrac{F_{\mathrm{тр}}+mg}{S}$.
5. В итоге $Q=\dfrac{3V(F_{\mathrm{тр}}+mg)}{2S}=\dfrac{3V(F+mg)}{2S}=\dfrac{3\cdot1\cdot10^{-3}\cdot(3+0{,}02\cdot10)}{2\cdot2\cdot10^{-4}}=24$ Дж.
Ответ: $Q=24$ Дж.