На дифракционную решётку, имеющую 400 штрихов на 1 см, падает по нормали параллельный пучок белого света. Между решёткой и экраном вплотную к решётке расположена линза, которая фокусирует свет, проходящий через решётку, на экране. Чему равна ширина спектра третьего порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана равно 2,5 м? Длины красной и фиолетовой волн соответственно равны $8\cdot10^{-7}$ м и $4\cdot10^{-7}$ м. Считать угол отклонения лучей решёткой $\varphi$ малым, так что $\sin\varphi\approx\mathrm{tg}\,\varphi\approx\varphi$.
Решение
Возможное решение.
1. Период дифракционной решётки $d = \dfrac{l}{N} = \dfrac{10^{-2}}{400} = 2{,}5 \cdot 10^{-5}$ м.
2. В соответствии с формулой для дифракционной решётки $d\sin\varphi = k\lambda$ максимум данного порядка в спектре наблюдается под углом $\varphi$ к направлению падающего света, который определяется по формуле $\sin\varphi = \dfrac{k\lambda}{d}$.
3. Так как по условию $\sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi$, то $\dfrac{x}{L} = \dfrac{k\lambda}{d}$, где $x$ — расстояние от центра дифракционной картины до максимума данного порядка, $L$ — расстояние от линзы до экрана.
Следовательно, ширина спектра третьего порядка
$$\Delta x = \dfrac{kL}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}}) = \dfrac{3 \cdot 2{,}5}{2{,}5 \cdot 10^{-5}} \cdot (8 - 4) \cdot 10^{-7} = 0{,}12\text{ м}.$$
Ответ: $\Delta x = 0{,}12$ м.