На дифракционную решётку, имеющую 500 штрихов на 1 см, падает по нормали параллельный пучок белого света. Между решёткой и экраном вплотную к решётке расположена линза, которая фокусирует свет, проходящий через решётку, на экране. Чему равно расстояние от линзы до экрана, если ширина спектра второго порядка на экране равна 10 см? Длины красной и фиолетовой волн соответственно равны $8\cdot10^{-7}$ м и $4\cdot10^{-7}$ м. Считать угол отклонения лучей решёткой малым, так что $\sin\varphi\approx\mathrm{tg}\,\varphi\approx\varphi$.
Решение
Возможное решение.
1. Период дифракционной решётки $d = \dfrac{l}{N} = \dfrac{10^{-2}}{500} = 2 \cdot 10^{-5}$ м.
2. В соответствии с формулой для дифракционной решётки $d\sin\varphi = k\lambda$ максимум данного порядка в спектре наблюдается под углом $\varphi$ к направлению падающего света, который определяется по формуле $\sin\varphi = \dfrac{k\lambda}{d}$.
3. Так как по условию $\sin\varphi \approx \operatorname{tg}\varphi$, то $\dfrac{x}{L} = \dfrac{k\lambda}{d}$, где $x$ — расстояние от центра дифракционной картины до максимума данного порядка, $L$ — расстояние от линзы до экрана.
Следовательно, ширина спектра второго порядка
$$\Delta x = \dfrac{kL}{d}(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}}).$$
4. Отсюда находим расстояние до экрана:
$$L = \dfrac{\Delta x \cdot d}{k(\lambda_{\text{кр}} - \lambda_{\text{ф}})} = \dfrac{0{,}1 \cdot 2 \cdot 10^{-5}}{2 \cdot (8 - 4) \cdot 10^{-7}} = 2{,}5\text{ м}.$$
Ответ: $L = 2{,}5$ м.