Небольшое тело массой $M=0{,}99$ кг лежит на вершине гладкой полусферы радиусом $R=1$ м. В тело попадает пуля массой $m=0{,}01$ кг, летящая горизонтально со скоростью $v_0=200$ м/с, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите высоту $h$, на которой это тело оторвётся от поверхности полусферы. Высота отсчитывается от основания полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Возможное решение.
Обоснование
1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. Тела можно считать материальными точками, так как их размеры пренебрежимо малы в условиях задачи.
2. При соударении для системы «пуля — тело» в ИСО выполняется закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную ось, так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) вертикальны.
3. При движении составного тела от вершины полусферы выполняется закон сохранения механической энергии, так как полусфера гладкая, и работа силы реакции опоры равна нулю (эта сила перпендикулярна скорости тела).
4. В момент отрыва обращается в нуль сила реакции опоры $\vec N$.
5. Второй закон Ньютона выполняется в ИСО для модели материальной точки.
Решение
1. Закон сохранения импульса связывает скорость пули перед ударом со скоростью составного тела массой $m+M$ сразу после удара: $mv_0=(m+M)v_1$.
Закон сохранения механической энергии связывает скорость составного тела сразу после удара с его скоростью в момент отрыва от полусферы:
$\dfrac{(m+M)v_1^2}{2}+(m+M)gR=\dfrac{(m+M)v_2^2}{2}+(m+M)gR\cos\alpha$,
где $v_2$ — скорость составного тела в момент отрыва; $h=R\cos\alpha$ — высота точки отрыва (см. рис.).
2. Второй закон Ньютона в проекциях на ось $x$ (направленную в центр полусферы) в момент отрыва тела принимает вид:
$(m+M)g\cos\alpha=\dfrac{(m+M)v_2^2}{R}$.
3. Объединяя уравнения, получим:
$\dfrac{v_1^2}{2}+gR=\dfrac{3}{2}gh$.
Отсюда $h=\dfrac{1}{3g}\cdot\left(\dfrac{mv_0}{M+m}\right)^2+\dfrac{2}{3}R=\dfrac{1}{3\cdot10}\cdot\left(\dfrac{0{,}01\cdot200}{0{,}99+0{,}01}\right)^2+\dfrac{2}{3}\cdot1\approx0{,}8$ м.
Ответ: $h\approx0{,}8$ м.