Однородный рычаг $AB$ может вращаться без трения вокруг неподвижной оси, проходящей через рычаг в точке $O$ перпендикулярно ему. К левому концу рычага в точке $A$ прикреплена нить, за которую с помощью динамометра $D$ рычаг неподвижно удерживается в горизонтальном положении. Нить составляет с вертикалью угол, который можно измерить с помощью транспортира $T$. Показания динамометра (в ньютонах) и транспортира (в градусах) видны на фотографии. К точке $C$ с помощью другой невесомой нерастяжимой нити подвешена латунная пластина (см. фотографию). Рычаг, пластина, нить и динамометр расположены в вертикальной плоскости. Массами транспортира и нитей пренебречь.
Определите массу рычага, если латунная пластина имеет массу 120 г. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на рычаг и пластину.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Возможное решение.
Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО).
2. Опишем рычаг моделью твёрдого тела (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным).
3. Рычаг не совершает вращательного движения, поэтому сумма моментов сил относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через ось вращения рычага (точку $O$), равна нулю.
4. Пластину опишем моделью материальной точки.
5. Пластина находится в покое относительно поступательного движения, следовательно, векторная сумма сил, действующих на неё, равна нулю.
6. Нить, соединяющая рычаг и пластину, невесома, поэтому модуль силы натяжения нити в любой её точке один и тот же: $|\vec T_1|=|\vec T_2|=T$.
Решение
1. Сделаем схематичный рисунок, отражающий нашу модель. На рычаг действуют сила тяжести $M\vec g$, сила натяжения нити $\vec T_1$, сила натяжения нити $\vec F$, а также сила реакции опоры $\vec N$, приложенная в точке $O$ (см. рис.).
На пластину действуют сила тяжести $m\vec g$ и сила натяжения нити $\vec T_2$. Пластина находится в равновесии, поэтому по второму закону Ньютона $T_2=mg$.
2. Условие равновесия рычага относительно оси вращения, проходящей через точку $O$ и перпендикулярной плоскости чертежа, имеет вид:
$F\cdot AO\cos\alpha-T_1\cdot CO-Mg\cdot QO=0$,
где точка $Q$ — центр рычага; момент силы $\vec N$, проходящей через ось вращения, равен нулю.
3. По фотографии видно, что длина всего рычага составляет 7 условных единиц (у. е.), а расстояния $AO=6$ у. е., $CO=4$ у. е., $QO=2{,}5$ у. е. соответственно. По фотографии определим $\alpha=45^\circ$, а $F=1{,}6$ Н.
4. Учитывая, что $|\vec T_1|=|\vec T_2|=T$, определим массу рычага:
$M=\dfrac{F\cdot AO\cos\alpha-mg\cdot CO}{g\cdot QO}=\dfrac{1{,}6\cdot6\cdot0{,}707-0{,}12\cdot10\cdot4}{10\cdot2{,}5}\approx0{,}08$ кг.
Ответ: $M\approx0{,}08$ кг.
