По неподвижной гладкой наклонной плоскости с углом при основании $\alpha=30^\circ$ движутся вверх два одинаковых бруска массой $m=0{,}25$ кг каждый, скреплённые между собой лёгкой пружиной. Длина пружины в процессе движения остаётся постоянной и равна $L=18$ см. Верхний брусок соединён невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массой $M=2$ кг (см. рис.). Чему равна жёсткость пружины, если в нерастянутом состоянии её длина $l=15$ см? Трением в оси блока и сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на бруски и груз.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Возможное решение.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с наклонной плоскостью.
2. Так как тела движутся поступательно, к ним можно применить второй закон Ньютона для материальных точек.
3. Так как нить нерастяжима и длина пружины постоянна, ускорения обоих брусков и груза равны по модулю:
$|\vec a_1|=|\vec a_2|=|\vec a_3|=a.\qquad(1)$
4. Так как блок и нить невесомы, а трение в оси блока отсутствует, то модули сил натяжения нити, действующих на груз и верхний брусок, одинаковы:
$|\vec T_1|=|\vec T_2|=T.\qquad(2)$
5. Так как пружина невесома, $|\vec F_{\mathrm{упр2}}|=|\vec F_{\mathrm{упр3}}|=F_{\mathrm{упр}}$.$\qquad(3)$
Решение
На рисунке показаны силы, действующие на бруски и груз.
1. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ выбранной системы координат. С учётом (1)–(3) получим:
$Ma=Mg-T,\qquad(4)$
$ma=T-F_{\mathrm{упр}}-mg\sin\alpha;\qquad(5)$
$ma=F_{\mathrm{упр}}-mg\sin\alpha.\qquad(6)$
Сложив уравнения (4), (5) и (6), найдём ускорение тел:
$a=\dfrac{Mg-2mg\sin\alpha}{M+2m}$.
2. Из уравнения (6) получим: $F_{\mathrm{упр}}=m(a+g\sin\alpha)=\dfrac{mMg(1+\sin\alpha)}{M+2m}$.
3. По закону Гука $F_{\mathrm{упр}}=k\Delta l=k(L-l)$, тогда
$k=\dfrac{mMg(1+\sin\alpha)}{(L-l)(M+2m)}=\dfrac{0{,}25\cdot2\cdot10\cdot(1+0{,}5)}{(0{,}18-0{,}15)\cdot(2+2\cdot0{,}25)}=100$ Н/м.
Ответ: $k=100$ Н/м.