По неподвижной гладкой наклонной плоскости с углом при основании $\alpha=30^\circ$ движутся вверх два одинаковых бруска массой $m=500$ г каждый, скреплённые между собой лёгкой пружиной с жёсткостью $k=250$ Н/м. Длина пружины $L$ в процессе движения остаётся постоянной. Верхний брусок соединён невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массой $M=2$ кг (см. рис.). Чему равна длина пружины $L$ при движении брусков, если в нерастянутом состоянии её длина $l=10$ см? Трением в оси блока и сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на бруски и груз.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Возможное решение.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с наклонной плоскостью.
2. Так как тела движутся поступательно, к ним можно применить второй закон Ньютона для материальных точек.
3. Так как нить нерастяжима и длина пружины постоянна, ускорения обоих брусков и груза равны по модулю:
$|\vec a_1|=|\vec a_2|=|\vec a_3|=a.\qquad(1)$
4. Так как блок и нить невесомы, а трение в оси блока отсутствует, то модули сил натяжения нити, действующих на груз и верхний брусок, одинаковы:
$|\vec T_1|=|\vec T_2|=T.\qquad(2)$
5. Так как пружина невесома, $|\vec F_{\mathrm{упр2}}|=|\vec F_{\mathrm{упр3}}|=F_{\mathrm{упр}}$.$\qquad(3)$
Решение
На рисунке показаны силы, действующие на бруски и груз.
1. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси $Ox$ и $Oy$ выбранной системы координат. С учётом (1)–(3) получим:
$Ma=Mg-T,\qquad(4)$
$ma=T-F_{\mathrm{упр}}-mg\sin\alpha;\qquad(5)$
$ma=F_{\mathrm{упр}}-mg\sin\alpha.\qquad(6)$
Сложив уравнения (4), (5) и (6), найдём ускорение тел:
$a=\dfrac{Mg-2mg\sin\alpha}{M+2m}$.
2. Из уравнения (6) получим: $F_{\mathrm{упр}}=m(a+g\sin\alpha)=\dfrac{mMg(1+\sin\alpha)}{M+2m}$.
3. По закону Гука $F_{\mathrm{упр}}=k\Delta l=k(L-l)$, тогда
$L=l+\dfrac{mMg(1+\sin\alpha)}{k(M+2m)}=0{,}1+\dfrac{0{,}5\cdot2\cdot10\cdot(1+0{,}5)}{250\cdot(2+2\cdot0{,}5)}=0{,}12$ м.
Ответ: $L=0{,}12$ м.