Вариант 5 из 36

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $138^\circ$ и $61^\circ$ соответственно. Найдите градусную меру угла $ABC$.

Векторы $\vec{a}(5;\,-4)$ и $\vec{b}(x;\,-6)$ перпендикулярны. Найдите $x$.

Шар описан около конуса так, что радиус основания конуса равен радиусу шара. Найдите объём конуса, если объём шара равен 180.

При изготовлении подшипников диаметром 52 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,977. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 51,99 мм, или больше, чем 52,01 мм.

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало не 9 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка. Ответ округлите до сотых.

Вычислите стандартное отклонение случайной величины $Y$, которая подчиняется распределению

$$\begin{pmatrix}0&1\\0{,}9&0{,}1\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\log_3(0{,}25-x)=\log_3\left(x^2-x\right)$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите значение выражения $\dfrac{27^{4{,}4}}{9^{3{,}6}}$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-17;\,7)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-9;\,3]$.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=55$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=6$ км/ч$^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\dfrac{at^2}{2}$. Определите наибольшее время $t$, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 100 км от города. Ответ дайте в минутах.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2,5 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\sqrt{ax}$ и $g(x)=\sqrt{x-b}$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

В июле 2030 года Иван планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 1,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2031, 2032 и 2033 года долг должен быть на 40 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит платёж 2034 года?

а) Решите уравнение $24\sin2x-7\cos2x=15$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;\,-2\pi]$.

В треугольной пирамиде $SABC$ высота $SH$ равна 0,5, основанием является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=\sqrt{5}$, $AC=4$, а тангенс угла между плоскостью $ABC$ и каждой из граней $SAB$ и $SBC$ равен $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$.

а) Докажите, что центр описанной около пирамиды $SABC$ сферы лежит на луче $SH$.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $SAC$.

Решите неравенство $\dfrac{6^{5-2x}-0{,}5^{5-2x}}{1-\log_{0{,}04}^2(2x-5)}\geqslant 0$.

Распределение скорости молекулы кислорода при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}032\,\dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса кислорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=500$ К?

Трапеция $ABCD$ с бо́льшим основанием $AD$ вписана в окружность радиусом $q$, $KM$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

а) Докажите, что если центр окружности, описанной около трапеции $ABCD$, лежит вне её, то центр окружности, описанной около трапеции $AKMD$, лежит вне трапеции $AKMD$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $AKMD$, если $AD=20$, $AB=BC=q=10$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$|x|\left(3x^2+8a\right)-x^2(a+15)=a^2$$

имеет ровно шесть корней.

Первая последовательность состоит из $k$ $(k\geqslant 10)$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_1$. Вторая последовательность состоит из $2k$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_2$.

а) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=16$?

б) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=15$?

в) Найдите наименьшее возможное значение модуля разности среднего арифметического $\dfrac{Q_1+Q_2}{2}$ и среднего арифметического набора чисел, состоящего из членов первой и второй последовательностей, если в этом наборе нет одинаковых чисел.