Вариант 35 из 36

Радиус окружности равен $\sqrt{6}$. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную $3\sqrt{2}$. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 1000 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

В ящике 7 красных и 3 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счёту?

Вычислите математическое ожидание случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X:\begin{pmatrix}0&1&2&3&4\\0{,}2&0{,}4&0{,}05&0{,}1&0{,}25\end{pmatrix}.$$

Решите уравнение $\log_5(2x+3)=\log_{0{,}2}(x+1)$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt[5]{m}\cdot\sqrt[20]{m}}$ при $m=256$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;\,6)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=-2x-14$ или совпадает с ней.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0=1400$ К, $a=-25$ К/мин$^2$, $b=300$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1900 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 240 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов после этого следом за ним, со скоростью на 8 км/ч больше, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=pa^x$. Найдите $f(4)$.

В июле 2029 года Инна планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 1060 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $r$ % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами по 627,2 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\left(4x^2+16x+15\right)\left(\cos x\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-0{,}5\right)=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$.

На рёбрах $AB$ и $B_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT:TB=2:1$ и $B_1K=KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TB_1$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ является серединой отрезка $AT$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=42$, $AA_1=3\sqrt{7}$.

Решите неравенство $9\log_8^2(4-x)^4+5\log_{0{,}5}(4-x)^8\leqslant 56$.

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой

$$l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}.$$

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=45$ м, $u=3{,}5$ м/с, $v=2{,}1$ м/с.

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.

а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.

б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=2:3$, $AP:PB=1:2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}\left(\dfrac{|x+4|+|x-4|}{2}-1\right)^2+\left(\dfrac{|y+1|+|y-1|}{2}-5\right)^2=25,\\y=ax-8a\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1$, $p_2$, ..., $p_k$ вычисляется по формуле $\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k}$.

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.