Вариант 25 из 36

В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB=10$, $BC=8$ и $CD=14$. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Даны векторы $\vec{a}(-3;\,-2)$ и $\vec{b}(3;\,b_0)$. Найдите $b_0$, если $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$.

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 120 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

На олимпиаде по физике 250 участников собираются разместить в четырёх аудиториях: в трёх — по 70 человек, а оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник будет писать олимпиаду в запасной аудитории.

На двух линиях выпускают одинаковые лампы. Первая линия выпускает в три раза больше ламп, чем вторая, но вероятность брака на первой линии равна 0,1, а на второй — 0,06. Все лампы поступают на склад. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа на складе окажется не бракованной.

Страховая компания заключает с клиентами страховые договоры (полисы). При наступлении страхового случая клиент получает выплату 500 тысяч рублей. Вероятность события «выплата по отдельно взятому договору» равна 0,02. Математическое ожидание случайной величины «доход страховой компании от продажи одного полиса» равно 2000 рублей. Найдите стоимость полиса. Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $4^{x-5}=8^{4x-2}$.

Найдите значение выражения $(1-\log_5 15)(1-\log_3 15)$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённый на интервале $(-8;\,6)$. Определите количество целых точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

Два тела массой $m=10$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v=8$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q=mv^2\sin^2\alpha$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее 480 джоулей.

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики двух функций вида $f(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $A(x_0;\,y_0)$. Найдите $y_0$.

В июле 2028 года Павел планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $r$ % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2030 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если общая сумма платежей по кредиту должна составить 1255 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\log_{0{,}5}^2\left(x^2\right)-4\log_8\left(x^4\right)=1$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-0{,}9;\,2{,}9]$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ является высотой пирамиды. На рёбрах $BC$, $CD$ и $SC$ соответственно отмечены точки $K$, $N$ и $F$ так, что $BK:KC=CN:ND=1:2$, $CF:FS=2:7$.

а) Докажите, что плоскости $ABC$ и $FNK$ перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды $AFNK$, если $AB=AS=6$.

Решите неравенство $2^{\frac{1}{x}}\cdot5^x\leqslant 0{,}1$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\varepsilon)=2\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\pi}}\cdot\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{\varepsilon}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot10^{-23}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=90$ К?

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.

а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.

б) Найдите $AC:AP$, если $BC:AB=2{,}5$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}(x+4)^2+(4-y)^2=0{,}1a^2-4(x+1)-4(y+1),\\|2x-3|-|4-y|=5\end{cases}$$

имеет ровно два решения.

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.

В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается $10a+4b+c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-2 — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:

— $a_1>a_2$,

— $a_1=a_2$ и $b_1>b_2$,

— $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ и $c_1>c_2$.

Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпало, то рейтинги у них были одинаковые.

а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?

в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл $Q$ для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться $10a+k_1b+k_2c$ очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения $k_1$ и $k_2$, такие, что $1\leqslant k_2<k_1\leqslant 9$. Найдите все пары $(k_1;\,k_2)$, при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла $Q$.