Металлический стержень, согнутый в виде буквы П, закреплён в горизонтальном положении (см. рисунок). На параллельные стороны стержня опирается концами перпендикулярная перемычка прямоугольного поперечного сечения массой 300 г и длиной 1 м. Вся система находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл. Под действием постоянной горизонтальной силы $F=1{,}6$ Н перемычка движется с постоянной скоростью 1,5 м/с. Определите сопротивление перемычки. Коэффициент трения между стержнем и перемычкой равен 0,2. Сопротивлением стержня пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на перемычку.
Решение
Возможное решение.
При движении перемычки в однородном магнитном поле на её концах возникает ЭДС электромагнитной индукции: $\mathcal{E}=Bvl$, где $B$ — модуль индукции магнитного поля, $v$ и $l$ — соответственно скорость и длина перемычки. Согласно закону Ома для полной цепи в замкнутом контуре возникает индукционный ток: $I_{\text{инд}}=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{Bvl}{R}$, где $R$ — сопротивление перемычки. Поскольку скорость перемычки постоянна, то ЭДС и индукционный ток также будут постоянными. Согласно правилу Ленца индукционный ток, возникающий в контуре, будет направлен так, чтобы при движении перемычки своим магнитным полем препятствовать увеличению магнитного потока через площадку, охваченную контуром, т. е. индукционный ток будет направлен против часовой стрелки (см. рисунок). Благодаря появлению индукционного тока на перемычку со стороны магнитного поля начнёт действовать сила Ампера, направленная согласно правилу левой руки в противоположную движению сторону: $F_{\text{А}}=BI_{\text{инд}}l=\dfrac{B^2l^2v}{R}$.
На перемычку действуют пять сил: сила тяжести $m\vec{g}$, нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$, сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$, сила Ампера $\vec{F}_{\text{А}}$ и искомая сила $\vec{F}$ (см. рисунок). Перемычка движется с постоянной скоростью, поэтому её ускорение равно нулю. Второй закон Ньютона в проекциях имеет вид: $Ox$: $0=F-F_{\text{тр}}-F_{\text{А}}$; $Oy$: $0=N-mg$. Сила трения скольжения $F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mg$. В итоге получаем:
$$R=\dfrac{(Bl)^2v}{F-\mu mg}=\dfrac{(0{,}2\cdot 1)^2\cdot 1{,}5}{1{,}6-0{,}2\cdot 0{,}3\cdot 10}=0{,}06\ \text{Ом}.$$
Ответ: $R=0{,}06$ Ом.