Два точечных источника света находятся на главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой 4 дптр на некотором расстоянии $L$ друг от друга. Линза находится между ними. Расстояние от линзы до одного из источников $x=20$ см. Изображения обоих источников получились в одной точке. Найдите расстояние $L$. Постройте на отдельных рисунках изображения двух источников в линзе, указав ход лучей.
Решение
Возможное решение.
1. Так как источники находятся с разных сторон от линзы, то для одного из них изображение должно быть действительным, а для другого — мнимым (см. рисунок). Источник, который находится ближе к линзе, даёт мнимое изображение. При этом должно быть $x < F$. У нас именно так: $x = 20$ см, $F = \dfrac1D = 25$ см.
2. Формулы тонкой линзы для двух источников имеют вид:
$$\dfrac1x - \dfrac1f = \dfrac1F \quad\text{(минус перед } f\text{, так как изображение мнимое)},\quad(1)$$
$$\dfrac{1}{L - x} + \dfrac1f = \dfrac1F,\quad(2)$$
где $F$ — фокусное расстояние линзы, $f$ — расстояние от линзы до точки, в которой находятся оба изображения.
3. Решая систему уравнений (1)-(2), получим:
$$F = \dfrac{2x(L - x)}{L}.$$
4. Так как оптическая сила линзы $D = \dfrac1F$, то получим: $D = \dfrac{L}{2x(L - x)}$.
Отсюда
$$L = \dfrac{2Dx^2}{2Dx - 1} = \dfrac{2\cdot4\cdot0{,}2^2}{2\cdot4\cdot0{,}2 - 1} = \dfrac{8}{15}\text{ м} \approx 0{,}53\text{ м}.$$
Ответ: $L \approx 0{,}53$ м.