В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем площадью $S$ находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра было равно $L$, а давление газа в цилиндре было равно внешнему атмосферному давлению $p_0$ (см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты $Q$, и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние $b$. Чему равна жёсткость пружины $k$?
Решение
Возможное решение.
1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. В процессе медленного движения поршня его ускорение считаем ничтожно малым. Поэтому сумма приложенных к поршню сил при его движении равна нулю (рисунок а). В проекциях на горизонтальную ось $x$ получаем: $F_1-F_0-F_{\text{упр}}=0$, где $F_0$ — сила давления атмосферы на поршень, $F_1$ — сила давления газа в цилиндре на поршень, $F_{\text{упр}}$ — упругая сила, действующая на поршень со стороны пружины.
2. Из равенства давлений слева и справа от поршня в начальном состоянии и гладкости стенок следует, что в начальном состоянии пружина не деформирована. Поэтому при смещении поршня вправо от начального положения на величину $x$ модуль упругой силы $F_{\text{упр}}=kx$. Тогда
$$F_1=p(x)S=F_0+F_{\text{упр}}=p_0S+kx,$$
и давление в цилиндре при смещении поршня вправо от начального положения на величину $x$ определяется по формуле $p(x)=p_0+\dfrac{kx}{S}$ (рисунок б).
3. Используем модель одноатомного идеального газа
$$\begin{cases}pV=\nu RT,\\ U=\dfrac{3}{2}\nu RT.\end{cases}$$
Отсюда получаем: $U=\dfrac{3}{2}pV$. Внутренняя энергия газа в исходном состоянии $U_1=\dfrac{3}{2}p_0SL$, а в конечном состоянии
$$U_2=\dfrac{3}{2}p(b)\cdot S(L+b)=\dfrac{3}{2}\left(p_0+\dfrac{kb}{S}\right)S(L+b).$$
4. Из первого начала термодинамики получаем: $Q=U_2-U_1+A_{12}$.
Работа газа $A_{12}$ при сдвиге поршня из начального состояния в конечное равна произведению величины $S$ и площади трапеции под графиком $p(x)$ на рисунок б:
$$A_{12}=\dfrac{1}{2}\left[p(0)+p(b)\right]Sb=\left(p_0S+\dfrac{kb}{2}\right)b.$$
Подставляя в выражение для $Q$ значения $U_1$, $U_2$ и $A_{12}$, получим:
$$Q=\dfrac{3}{2}(p_0S+kb)(L+b)-\dfrac{3}{2}p_0SL+\left(p_0S+\dfrac{kb}{2}\right)b=\dfrac{3}{2}kbL+\dfrac{5}{2}p_0Sb+2kb^2.$$
Решая это уравнение относительно $k$, получим: $k=\dfrac{2Q-5p_0Sb}{3bL+4b^2}$.
Ответ: $k=\dfrac{2Q-5p_0Sb}{3bL+4b^2}$.