В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под тяжёлым поршнем с площадью основания $S$ находится одноатомный идеальный газ. В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте $h$, опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (см. рисунок $а$). Давление газа $p_0$ равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты $Q$, и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте $H$ (см. рисунок $б$). Чему равна масса поршня $M$? Тепловыми потерями пренебречь.
Решение
Возможное решение.
1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. В процессе медленного подъёма поршня его ускорение считаем ничтожно малым. Поэтому сумма приложенных к поршню сил при его движении равна нулю. В проекциях на вертикальную ось $y$ получаем:
$$F_1 - F_0 - Mg = 0, \text{ или } p_1 S - p_0 S - Mg = 0.$$
Отсюда получаем давление газа $p_1$ под движущимся поршнем:
$$p_1 = p_0 + \dfrac{Mg}{S}.$$
2. Используем модель одноатомного идеального газа:
$$\begin{cases} pV = \nu RT, \ U = \dfrac{3}{2}\nu RT. \end{cases}$$
Отсюда получаем: $U = \dfrac{3}{2}pV$. Внутренняя энергия газа в исходном состоянии $U_0 = \dfrac{3}{2}p_0 Sh$, а в конечном состоянии $U_1 = \dfrac{3}{2}p_1 SH = \dfrac{3}{2}(p_0 S + Mg)H$.
3. Процесс движения поршня идёт при постоянном давлении газа $p_1$. Поэтому из первого начала термодинамики получаем:
$$Q = U_1 - U_0 + p_1 \Delta V = U_1 - U_0 + p_1 S(H - h).$$
Подставляя сюда выражения для $p_1$, $U_0$ и $U_1$, получим:
$$Q = \dfrac{3}{2}Mgh + \dfrac{5}{2}(Mg + p_0 S) \cdot (H - h).$$
Решая это уравнение относительно $M$, получим:
$$M = \dfrac{Q - \dfrac{5}{2}p_0 S(H - h)}{g\left(\dfrac{3}{2}h + \dfrac{5}{2}(H - h)\right)}.$$
Ответ: $M = \dfrac{Q - \dfrac{5}{2}p_0 S(H - h)}{g\left(\dfrac{3}{2}h + \dfrac{5}{2}(H - h)\right)}$.