На горизонтальный диск радиусом 1 м кладут небольшой брусок на расстоянии 60 см от его центра. Затем диск плавно раскручивают относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, до угловой скорости $\omega_1=2$ рад/с. Эксперимент повторяют, раскручивая диск до угловой скорости $\omega_2=2{,}5$ рад/с. Коэффициент трения между поверхностью диска и бруском равен 0,5. Для каждого опыта определите, начнёт ли брусок скользить по диску во время его раскручивания. Ответ поясните, опираясь на законы механики.
Решение
Возможное решение.
1. Рассмотрим движение диска в инерциальной системе отсчёта «Земля». Первоначально во время раскручивания диска брусок остаётся неподвижным относительно его поверхности.
На него действуют сила тяжести $m\vec g$ и сила реакции со стороны диска, которую представим в виде двух составляющих: силы нормальной реакции опоры $\vec N$ и силы трения покоя $\vec F_{\text{трПок}}$. Согласно второму закону Ньютона $N = mg$, $ma_{\text{цс}} = m\omega^2 R = F_{\text{трПок}}$ (см. рисунок), где $m$ — масса бруска, $R$ — расстояние от бруска до центра диска.
2. По мере увеличения угловой скорости вращения диска вместе с увеличением центростремительного ускорения бруска будет расти величина силы трения покоя. Брусок начнёт скользить по диску, когда сила трения покоя достигнет своего максимального значения, равного силе трения скольжения: $ma_{\text{цс}} > F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg$, где $\mu$ — коэффициент трения между диском и бруском. Следовательно, брусок начнёт скользить по диску, если $a_{\text{цс}} = \omega^2 R > \omega_0^2 R = \mu g$.
Следовательно, $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{\mu g}{R}} = \sqrt{\dfrac{0{,}5 \cdot 10}{0{,}6}} \approx 2{,}89$ рад/с.
3. Величина $\sqrt{\dfrac{\mu g}{R}}$ превосходит как $\omega_1 = 2$ рад/с, так и $\omega_2 = 2{,}5$ рад/с, поэтому во время раскручивания диска в обоих экспериментах брусок останется неподвижным относительно него и не начнёт скольжение.