Маленькое положительно заряженное тело массой $m$, прикреплённое к невесомой нерастяжимой нити длиной $L$, может двигаться по окружности в вертикальной плоскости. Система находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции $\vec B$ которого перпендикулярен плоскости движения тела и направлен так, как показано на рисунке. Модуль наименьшей скорости тела в нижней точке, при которой тело совершает полный оборот по окружности, равен $v_{\mathrm н}$. Модуль индукции магнитного поля равен $B$. Найдите заряд тела.
Возможное решение.
1. Рассмотрим движение тела в инерциальной системе отсчёта «Земля». Исходя из второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось, получим в верхней точке:
$ma=mg-qv_{\mathrm в}B$,$\qquad(1)$
где $a=\dfrac{v_{\mathrm в}^2}{L}$ — модуль центростремительного ускорения тела в верхней точке, $v_{\mathrm в}$ — скорость тела в верхней точке, $L$ — длина нити. Здесь учтено условие минимальности скорости в нижней точке траектории движения, поэтому сила натяжения нити в верхней точке равна нулю.
2. Заметим, что силы Лоренца и натяжения нити не совершают работу, так как они в каждой точке траектории направлены перпендикулярно скорости. Запишем закон сохранения механической энергии для тела:
$\dfrac{mv_{\mathrm н}^2}{2}=\dfrac{mv_{\mathrm в}^2}{2}+2mgL$.$\qquad(2)$
Следовательно, $v_{\mathrm в}^2=v_{\mathrm н}^2-4gL$.$\qquad(3)$
3. Использовав результаты пунктов 1 и 2, получим: $q=\dfrac{m\left(gL-v_{\mathrm в}^2\right)}{Bv_{\mathrm в}L}=\dfrac{m\left(5gL-v_{\mathrm н}^2\right)}{BL\sqrt{v_{\mathrm н}^2-4gL}}$.
Ответ: $q=\dfrac{m\left(5gL-v_{\mathrm н}^2\right)}{BL\sqrt{v_{\mathrm н}^2-4gL}}$.
