Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q=5$ нКл, подвешенный к потолку на лёгкой шёлковой нитке длиной $l=0{,}8$ м, находится в горизонтальном однородном электростатическом поле $\vec E$ с модулем напряжённости поля $E=6\cdot10^5$ В/м (см. рис.). Шарик отпускают с нулевой начальной скоростью из положения, в котором нить вертикальна. В момент, когда нить образует с вертикалью угол $\alpha=30^\circ$, модуль скорости шарика $v=0{,}9$ м/с. Чему равна масса шарика $m$? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Возможное решение.
1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. На шарик действуют вертикальная сила тяжести $m\vec g$, горизонтальная сила со стороны электрического поля $q\vec E$ и вдоль нити сила её натяжения $\vec T$ (см. рис.).
2. По теореме об изменении кинетической энергии материальной точки в ИСО $\Delta E_{\mathrm{кин}}=A_{\mathrm{всех\ сил}}$. Работа силы $\vec T$ равна нулю, так как эта сила в любой момент времени перпендикулярна скорости шарика. Силы $m\vec g$ и $q\vec E$ потенциальны, поэтому их работа при переходе из начальной точки в конечную не зависит от выбора траектории.
3. Выберем траекторию перехода в виде двух последовательных шагов: сначала из исходного положения вверх на расстояние $h$, затем по горизонтали на расстояние $b$ в конечное положение. На этой траектории сумма работ силы тяжести и силы со стороны электростатического поля $A=-mgh+qEb$, где $h=l(1-\cos\alpha)$, $b=l\sin\alpha$.
4. В результате получаем:
$\Delta E_{\mathrm{кин}}=\dfrac{mv^2}{2}-0=A_{\mathrm{всех\ сил}}=-mgl(1-\cos\alpha)+qEl\sin\alpha$.
Отсюда:
$m=\dfrac{2qEl\sin\alpha}{v^2+2gl(1-\cos\alpha)}=\dfrac{2\cdot5\cdot10^{-9}\cdot6\cdot10^5\cdot0{,}8\cdot0{,}5}{0{,}81+2\cdot10\cdot0{,}8\left(1-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)}\approx8{,}1\cdot10^{-4}$ кг.
Ответ: $m\approx8{,}1\cdot10^{-4}$ кг.