В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под поршнем массой $M$ и конечной площадью основания находится одноатомный идеальный газ. В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте $h$, опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (см. рис. а). Давление газа $p_0$ равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты $Q$, и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте $H$ (см. рис. б). Чему равна площадь основания поршня $S$? Тепловыми потерями пренебречь.
Возможное решение.
1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной. В процессе медленного подъёма поршня его ускорение считаем ничтожно малым. Поэтому сумма приложенных к поршню сил при его движении равна нулю. В проекциях на вертикальную ось $Oy$ получаем:
$F_1-F_0-Mg=0$, или $p_1S-p_0S-Mg=0$.
Отсюда получаем давление газа $p_1$ под движущимся поршнем:
$p_1=p_0+\dfrac{Mg}{S}$.
2. Используем модель одноатомного идеального газа:
$\begin{cases}pV=\nu RT,\\ U=\dfrac{3}{2}\nu RT.\end{cases}$
Отсюда получаем: $U=\dfrac{3}{2}pV$. Внутренняя энергия газа в исходном состоянии $U_0=\dfrac{3}{2}p_0Sh$, а в конечном состоянии $U_1=\dfrac{3}{2}p_1SH=\dfrac{3}{2}(p_0S+Mg)H$.
3. Процесс движения поршня идёт при постоянном давлении газа $p_1$. Поэтому из первого начала термодинамики получаем:
$Q=U_1-U_0+p_1\Delta V=U_1-U_0+p_1S(H-h)$.
Подставляя сюда выражения для $p_1$, $U_0$ и $U_1$, получим:
$Q=\dfrac{3}{2}Mgh+\dfrac{5}{2}(Mg+p_0S)\cdot(H-h)$.
Решая это уравнение относительно $S$, получим: $S=\dfrac{Q-Mg\left(\dfrac{3}{2}h+\dfrac{5}{2}(H-h)\right)}{\dfrac{5}{2}p_0(H-h)}$.
Ответ: $S=\dfrac{Q-Mg\left(\dfrac{3}{2}h+\dfrac{5}{2}(H-h)\right)}{\dfrac{5}{2}p_0(H-h)}$.
