В качестве рабочего тела в тепловой машине используется идеальный одноатомный газ, который совершает циклический процесс, состоящий из изобарного нагревания (1→2), изохорного охлаждения (2→3) и адиабатного сжатия (3→1). Известно, что работа, совершённая газом в изобарном процессе, в 4 раза больше работы, совершённой над газом при адиабатном сжатии. Определите КПД этой тепловой машины.
Возможное решение.
1. В данном цикле рабочее тело на участке 1–2 (изобара) получает положительное количество теплоты от нагревателя:
$Q_{\mathrm{нагр}}=Q_{12}=(U_2-U_1)+A_{12}$.
На участке 2–3 (изохора) рабочее тело отдаёт холодильнику положительное количество теплоты.
На участке 3–1 (адиабата) внешние силы сжимают газ, совершая работу $A'_{31}=-A_{31}$.
2. КПД тепловой машины $\eta=\dfrac{A}{Q_{\mathrm{нагр}}}=\dfrac{A_{12}-A'_{31}}{Q_{12}}$, где $A$ — работа газа за цикл.
3. Используя формулу для внутренней энергии одноатомного идеального газа $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$ и формулу для работы газа при изобарном процессе $A_{12}=p_1(V_2-V_1)$, найдём количество теплоты:
$Q_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)+p_1(V_2-V_1)=\dfrac{3}{2}(p_1V_2-p_1V_1)+p_1(V_2-V_1)=\dfrac{5}{2}A_{12}$.
4. Объединив п. 1–3, получим: $A'_{31}=A_{12}-\eta Q_{12}=A_{12}\left(1-\dfrac{5}{2}\eta\right)$, откуда
$\eta=\dfrac{2}{5}\left(1-\dfrac{A'_{31}}{A_{12}}\right)=\dfrac{2}{5}\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=0{,}3=30\,\%$.
Ответ: $\eta=30\,\%$.
