Пузырёк воздуха, имеющий у дна озера объём $V_1=2$ мм³, медленно поднимается вверх. На какой глубине объём пузырька становится $V_2=3$ мм³, если глубина озера $H=6{,}5$ м? Давление воздуха на уровне поверхности воды равно нормальному атмосферному давлению. Силы поверхностного натяжения не учитывать, температуры воды и воздуха в пузырьке считать постоянными. Испарением воды внутрь пузырька в процессе его подъёма пренебречь.
Возможное решение.
1. Давление $p_1$ на глубине $H$ (вблизи дна озера) равно сумме атмосферного и гидростатического давлений:
$p_1=p_0+\rho gH$,
где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $p_0$ — нормальное атмосферное давление.
2. Аналогичное соотношение записываем для давления на глубине $h$:
$p_2=p_0+\rho gh$.
3. Воздух, находящийся в пузырьке, считаем идеальным газом, масса и температура которого не изменяются в процессе подъёма. В соответствии с законом Бойля — Мариотта для изотермического процесса
$p_1V_1=p_2V_2$.
Подставляя первое и второе соотношения в третье, получаем искомое выражение для глубины озера:
$h=\dfrac{\rho gV_1H-p_0(V_2-V_1)}{\rho gV_2}$.
Подставляя численные значения физических величин, заданные в условии задачи, а также табличные значения $g$, $\rho$ и $p_0$, получаем:
$h=\dfrac{10^3\cdot10\cdot2\cdot10^{-9}\cdot6{,}5-10^5(3-2)\cdot10^{-9}}{10^3\cdot10\cdot3\cdot10^{-9}}=1$ м.
Ответ: $h=1$ м.