Вариант 23 из 36

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $67^\circ$. Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите длину вектора $5\vec{b}-\vec{a}$.

Площадь большого круга шара равна 12. Найдите площадь поверхности шара.

В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

По условиям лотереи каждый пятый билет является выигрышным. Какое наименьшее количество билетов нужно купить, чтобы среди них с вероятностью больше, чем 0,5, оказался выигрышный билет?

Вычислите стандартное отклонение случайной величины $Y$, которая подчиняется распределению

$$\begin{pmatrix}0&2\\0{,}8&0{,}2\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\left(1-x^2\right)^3=-27$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $7\cdot\sqrt[5]{256}\cdot\sqrt[20]{256}$.

Прямая $y=7x+11$ параллельна касательной к графику функции $y=x^2+8x+6$. Найдите абсциссу точки касания.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $\nu=2$ моля воздуха объёмом $V_1=18$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{V_1}{V_2}$, где $\alpha=9{,}15\dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, а $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 980 Дж.

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй — 15 рабочих. Через 9 дней после начала работы в первую бригаду перешли 6 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

На рисунке изображён график функции $f(x)=a^x+b$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=76$.

В июле 2029 года Елена планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 1,4 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 20 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2030, 2031 и 2032 года долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит платёж 2033 года?

а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot\sin^2\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos^4x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-3\pi;\,-2\pi]$.

В правильной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$ отметили точку $K$ так, что $CK:KC_1=3:1$. Через точки $K$ и $D_1$ параллельно прямой $DF_1$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ пересекает ребро $B_1C_1$ в такой точке $N$, что $B_1N:NC_1=1:2$.

б) Найдите угол между плоскостями $EFF_1$ и $\alpha$, если $AB=\sqrt{10}$, $AA_1=4$.

Решите неравенство $2^x\cdot\log_3x+3^x\cdot\log_2x\leqslant2\cdot3^{x-1}\cdot\log_3x+3\cdot2^{x-1}\cdot\log_2x$.

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=1{,}5$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. При каком сопротивлении $R$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.

а) Докажите, что $AK=KD$.

б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED=58^\circ$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}|x|-|y|=a,\\x-1=\sqrt{y+4}\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.

а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?

б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.

в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.