Вариант 8

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 21. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

Даны векторы $\vec{a}\left(2;\,\sqrt{21}\right)$ и $\vec{b}\left(2;\,-\sqrt{21}\right)$. Найдите косинус угла между ними.

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{2}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^{\circ}$. Найдите объём параллелепипеда.

В сборнике билетов по философии всего 45 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме «Пифагор». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Пифагор».

Первый член бесконечной последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p=\dfrac{5}{7}$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью $1-p$ на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что среди членов этой последовательности найдётся число $-1$?

Известно, что случайная величина $Y$ подчиняется распределению

$$Y\sim\begin{pmatrix}3&4&5&6&7&8\\0{,}25&0{,}25&0{,}2&0{,}15&0{,}1&0{,}05\end{pmatrix}.$$

Найдите вероятность события $-1\leqslant Y \lt 7$.

Решите уравнение $\dfrac{1}{8}x^2=15\dfrac{1}{8}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите $\log_{a}\dfrac{a^9}{b^2}$, если $\log_{a}b=15$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-3;\,10)$. В какой точке отрезка $[0;\,4]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Водолазный колокол, содержащий $\upsilon=3$ моля воздуха при давлении $p_1=1{,}5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha\upsilon T\log_{2}\dfrac{p_2}{p_1}$, где $\alpha=14{,}7\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 26 460 Дж.

Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 69 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 73 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 31 808 тысячам рублей. Найдите $S$. Ответ дайте в тыс. рублей.

а) Решите уравнение $4\cos^2x+8\sqrt{3}\cos\left(x-\dfrac{9\pi}{2}\right)-13=0$.

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left[3\pi;\,\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=6$ и диагональю $BD=10$. Все боковые рёбра пирамиды равны 12. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=4$, а $BE=\dfrac{5}{2}$.

а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$.

б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.

Решите неравенство $\sqrt{49^x-7^{x+1}+12}\leqslant 7^x-3$.

Распределение скорости молекулы водорода при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}004$ кг/моль — молярная масса водорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=600$ К?

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ с внешней стороны построены квадраты $AKLC$ и $BPQC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$.

а) Докажите, что $LQ=2CM$.

б) Найдите расстояние от точки $M$ до центра квадрата $BPQC$, если $AC=6$, $BC=10$ и $\angle ACB=150^{\circ}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{9x^4+5x^2(5x+3)-a\left(x^2-a\right)}=3x^2+5x-a$$

имеет ровно три различных корня.

Некоторая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Пусть $S_n$ — сумма попарных произведений первых $n\geqslant 2$ членов этой прогрессии. Например, для прогрессии 1, 3, 5, 7, … получаем: $S_2=1\cdot 3=3$ и $S_3=1\cdot 3+3\cdot 5+1\cdot 5=23$.

а) Может ли выполняться равенство $S_4=S_3+63$?

б) Может ли выполняться равенство $S_{17}=S_{15}+4961$?

в) Найдите наибольшее значение $n$, при котором может выполняться равенство $S_{n+2}=S_n+4961$.