Вариант 6

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 176. Точка $E$ — середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

Даны векторы $\vec{a}(7;\,1)$ и $\vec{b}(-1;\,-7)$. Найдите косинус угла между ними.

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 2 и образует с плоскостью этой грани угол $30^{\circ}$. Найдите объём параллелепипеда.

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме «Производная». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Производная».

Первый член бесконечной последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p=0{,}8$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью $1-p$ на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что среди членов этой последовательности найдётся число $-1$?

Известно, что случайная величина $Y$ подчиняется распределению

$$Y\sim\begin{pmatrix}0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\ 0{,}2 & 0{,}15 & 0{,}05 & 0{,}25 & 0{,}1 & 0{,}25\end{pmatrix}.$$

Найдите вероятность события $2\lt Y\leqslant 11$.

Решите уравнение $\dfrac{1}{3}x^2=16\dfrac{1}{3}$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите $\log_{a}\dfrac{a}{b^3}$, если $\log_{a}b=5$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;\,3)$. В какой точке отрезка $[-3;\,2]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Водолазный колокол, содержащий $\upsilon=5$ молей воздуха при давлении $p_1=1{,}4$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha\upsilon T\log_{2}\dfrac{p_2}{p_1}$, где $\alpha=8{,}5\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, $T=300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 25 500 Дж.

Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 27 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 51 808 тысячам рублей. Найдите $S$. Ответ дайте в тыс. рублей.

а) Решите уравнение $2\cos^2x+\sin(5\pi-x)+1=0$.

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac{9\pi}{2};\,6\pi\right]$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со стороной $AB=3$ и диагональю $BD=5$. Все боковые рёбра пирамиды равны 3. На диагонали $BD$ основания $ABCD$ отмечена точка $E$, на ребре $AS$ — точка $F$ так, что $SF=BE=2$.

а) Докажите, что плоскость $CEF$ параллельна ребру $SB$.

б) Плоскость $CEF$ пересекает ребро $SD$ в точке $Q$. Найдите расстояние от точки $Q$ до плоскости $ABC$.

Решите неравенство $\sqrt{5^{2x+1}-4\cdot 5^x+7}\leqslant 3-5^x$.

Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу $\mathcal{E}=40$ В и внутреннее сопротивление $r=1$ Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\mathcal{E}}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление нагрузки (в Омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна $P=I^2R$ (закон Джоуля–Ленца). Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять этот источник.

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ с внешней стороны построены квадраты $AKLC$ и $BPQC$. Точка $M$ — середина стороны $AB$.

а) Докажите, что $LQ=2CM$.

б) Найдите расстояние от точки $M$ до центра квадрата $AKLC$, если $AC=14$, $BC=16$ и $\angle ACB=150^{\circ}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{9x^4+5x^2(3-5x)+a\left(x^2+a\right)}=3x^2-5x+a$$

имеет ровно три различных корня.

Некоторая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Пусть $S_n$ — сумма попарных произведений первых $n\geqslant 2$ членов этой прогрессии. Например, для прогрессии 1, 3, 5, 7,… получаем: $S_2=1\cdot 3=3$ и $S_3=1\cdot 3+3\cdot 5+1\cdot 5=23$.

а) Может ли выполняться равенство $S_4=S_3+105$?

б) Может ли выполняться равенство $S_{19}=S_{17}+6932$?

в) Найдите наибольшее значение $n$, при котором может выполняться равенство $S_{n+2}=S_n+6932$.