Вариант 6

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $139^\circ$ и $63^\circ$ соответственно. Найдите градусную меру угла $ABC$.

Векторы $\vec{a}(-7;\,y)$ и $\vec{b}(6;\,-5)$ перпендикулярны. Найдите $y$.

Шар описан около конуса так, что радиус основания конуса равен радиусу шара. Найдите объём шара, если объём конуса равен 17.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура в комнате окажется ниже, чем $21{,}5\,^\circ$C, равна 0,68. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени температура в этой комнате окажется $21{,}5\,^\circ$C или выше.

Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало не 8 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 2 очка. Ответ округлите до сотых.

Вычислите стандартное отклонение случайной величины $Y$, которая подчиняется распределению

$$\begin{pmatrix}0&1\\0{,}5&0{,}5\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\log_6(0{,}36-x)=\log_6\left(x^2-x\right)$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{6{,}6}}{8^{2{,}4}}$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-9;\,10)$. Найдите количество точек экстремума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-7;\,7]$.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=58$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=8$ км/ч$^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\dfrac{at^2}{2}$. Определите наибольшее время $t$, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 175 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1,5 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 44 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\sqrt{ax}$ и $g(x)=\sqrt{x-b}$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

В июле 2030 года Дарья планирует взять кредит в банке на 4 года в размере 1,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 14 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2031, 2032 и 2033 годов долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит платёж 2034 года?

а) Решите уравнение $15\cos2x+20\sin2x=7$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\,3\pi]$.

В треугольной пирамиде $SABC$ высота $SH$ равна $\sqrt{6}$, основанием является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=BC=3$, $AC=2\sqrt{6}$, а тангенс угла между плоскостью $ABC$ и каждой из граней $SAB$ и $SBC$ равен $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.

а) Докажите, что центр описанной около пирамиды $SABC$ сферы лежит на луче $SH$.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $SAC$.

Решите неравенство $\dfrac{\log_{0{,}25}^2(4-5x)-2{,}25}{6^{5x-4}-0{,}5^{5x-4}}\leqslant 0$.

Распределение скорости молекулы кислорода при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}032\,\dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса кислорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=400$ К?

Трапеция $ABCD$ с бо́льшим основанием $AD$ вписана в окружность радиусом $q$, $KM$ — средняя линия трапеции $ABCD$.

а) Докажите, что если центр окружности, описанной около трапеции $ABCD$, лежит вне её, то центр окружности, описанной около трапеции $KBCM$, лежит вне трапеции $KBCM$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $KBCM$, если $AD=20$, $AB=BC=q=10$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^2(a+2)-|x|\left(2x^2-a\right)=a^2$$

имеет ровно четыре корня.

Первая последовательность состоит из $k$ $(k\geqslant 10)$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_1$. Вторая последовательность состоит из $2k$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_2$.

а) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=12$?

б) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=25$?

в) Найдите наибольшее возможное значение модуля разности среднего арифметического $\dfrac{Q_1+Q_2}{2}$ и среднего арифметического набора чисел, состоящего из членов первой и второй последовательностей, если в этом наборе нет одинаковых чисел.