Вариант 4

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 521. Найдите площадь параллелограмма $MNKL$, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Найдите скалярное произведение векторов $2\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 5, а площадь поверхности равна 930.

В среднем из 800 садовых насосов, поступивших в продажу, 16 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

При мелкосерийном изготовлении деталей на фрезерном станке вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна $0{,}05$ независимо от других деталей. Всего в партии 14 деталей. Во сколько раз вероятность события «ровно две детали из партии бракованные» больше вероятности события «ровно три детали из партии бракованные»?

Пластиковые бутылки с питьевой водой продаются поштучно, либо упаковками по 6 или 9 штук. Известно, что в среднем 71 покупатель из 100 эту воду не покупает, 16 покупают одну бутылку, 9 человек — упаковку, в которой 6 бутылок, и 4 человека берут упаковку, в которой 9 бутылок. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество бутылок в одной покупке».

Найдите корень уравнения $\sqrt[3]{x-8}=8$.

Найдите значение выражения $11p(a)-66a-10$, если $p(a)=6a-6$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$, $x_{11}$, $x_{12}$.

В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f(x)$ неположительна.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-2$ до 2.

Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вчетверо, а объективность — втрое дороже, чем оперативность. Таким образом, формула приняла вид

$$R=\dfrac{4In+Op+3Tr}{A}.$$

Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 2.

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 17 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 102 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 60 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=-a\cos x+b$. Найдите $a$.

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 164 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 5 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

а) Решите уравнение $\dfrac{\operatorname{tg}^2x+\left(\sqrt{2}-3\right)\operatorname{tg}x-3\sqrt{2}}{\sqrt{-2\sin x-\sqrt{2}}}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Точка $M$ лежит на ребре $AS$, а точка $N$ — на ребре $AD$.

а) Докажите, что расстояние между прямыми $MN$ и $BC$ равно длине отрезка $AB$.

б) Найдите объём пирамиды $MDCN$, если $SA=13$, $SB=\sqrt{233}$, $SC=4\sqrt{13}$, $AM:MS=3:1$ и $AN:ND=3:2$.

Решите неравенство $\dfrac{\log_{0{,}5}(x+3)}{\log_{0{,}5}\left(27-27x+9x^2-x^3\right)}\leqslant 0$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\mathcal{E})=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\mathcal{E}}\,e^{-\frac{\mathcal{E}}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, $\mathcal{E}$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\mathcal{E}$, при котором функция плотности $f(\mathcal{E})$ принимает наибольшее значение, если $T=60$ К.

В тупоугольном треугольнике $KMN$ из вершин острых углов проведены высоты $KA$ и $NB$, которые пересекаются в точке $H$.

а) Докажите, что угол $ABK$ равен углу $ANK$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABH$, если известно, что $KN=22$ и $\angle KMN=135^{\circ}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$4^{|x|}-\dfrac{5a}{a-2}\cdot 2^{|x|}+\dfrac{7a+6}{a-2}=0$$

имеет ровно два различных корня.

На столе лежит $N$ монет по 2 рубля и $(1300-N)$ монет по 5 рублей ($N$ — натуральное число от 1 до 1299). Оказалось, что если взять любые 500 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.

а) Может ли $N$ равняться 300?

б) Может ли $N$ равняться 700?

в) Сколько различных значений может принимать число $N$?