Вариант 4

Основания трапеции равны 6 и 11. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координаты у которых — целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}+0{,}5\vec{b}$.

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 1 и 1,5 соответственно. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Из множества натуральных чисел от 16 до 40 (включительно) наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 8?

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше $+23\,^\circ$C, равна 0,18. Вероятность того, что температура окажется ниже $+26\,^\circ$C, равна 0,88. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от $+23\,^\circ$C до $+26\,^\circ$C.

Случайная величина $Z$ распределена по закону

$$\begin{pmatrix}0&2\\0{,}6&0{,}4\end{pmatrix}.$$

Найдите дисперсию случайной величины $Z$.

Найдите корень уравнения $\log_{32}4^{7-x}=8$.

Найдите значение выражения $\dfrac{10\sin85^\circ\cdot\cos85^\circ}{\sin190^\circ}$.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=0{,}4t^2+t+0{,}8$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=7$ с.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1^{1{,}4}=p_2V_2^{1{,}4}$, где $p_1$ и $p_2$ — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$ — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 14,4 л, а давление газа равно 2 атмосферы. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 256 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Каждый из трёх рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 18 часов. Через полтора часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, а ещё через полтора часа — третий рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$, которые пересекаются в точках $A(1;\,2)$ и $B(x_B;\,y_B)$. Найдите $x_B$.

В январе 2031 года Игорь планирует открыть вклад на 2 года на 750 тыс. рублей, а в январе 2032 года дополнительно внести на этот вклад ещё 450 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет $r$ % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $r$, если в январе 2033 года на вкладе должно быть 1487,7 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $16^{x^4+x^2+3x+1{,}5}-16^{x^4-x^2-3x-0{,}5}+3\cdot2^{4x^4+1}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4{,}4;\,0{,}4]$.

Основанием треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AC$. Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$, которая пересекла ребро $AA_1$ в точке $N$ и разбила призму на два многогранника с равными объёмами.

а) Докажите, что $AN:AA_1=3:4$.

б) Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость, которая пересекла рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $P$ соответственно так, что объём многогранника $ABCKP$ в 3 раза меньше объёма призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите косинус угла между плоскостями $\alpha$ и $BKP$, если $AB:AA_1=6:7$.

Решите неравенство $64\log_{25}^4\left(8-x^2\right)-5\log_{\sqrt{5}}^2\left(8-x^2\right)+16\leqslant 0$.

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. При каком сопротивлении $R$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $P$ наибольшая?

В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отметили точку $E$. Лучи $DB$ и $DE$ делят угол $ADC$ на три равные части. Отрезок $BD$ пересекает отрезки $AC$ и $AE$ в точках $O$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $NO=\dfrac{AB}{5}$.

б) Найдите отношение площадей фигур, на которые прямая $DE$ делит четырёхугольник $ONEC$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{81-x^4}-10=ax^2-a$$

имеет ровно два решения.

Чёрный маркер стоит 45 рублей, синий — 52 рубля, красный — 64 рубля, зелёный — 72 рубля. На 1700 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$ — количество купленных маркеров какого-то цвета и $n_1\geqslant n_2\geqslant n_3\geqslant n_4$, то $n_k-n_{k+1}\leqslant 2$ (для $k=1;\,2;\,3$).

а) Можно ли купить 25 маркеров?

б) Можно ли купить 35 маркеров?

в) Какое наибольшее количество маркеров можно купить?