Вариант 36

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=BC$, $AB=10$, $\cos BAC=\dfrac{7}{25}$. Найдите высоту $AH$.

Длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны соответственно 11 и 7, а их скалярное произведение равно 53. Найдите длину вектора $\vec{c}$, если $\vec{c}=\vec{a}+2\vec{b}$.

Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его объём увеличится на 63. Найдите ребро куба.

В группе 16 человек, среди них — Анна и Татьяна. Группу случайным образом делят на 4 одинаковые по численности подгруппы. Найдите вероятность того, что Анна и Татьяна окажутся в одной подгруппе.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 15 % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 65 % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 45 % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Всего выпущено 10 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $5^{1-2x}=2{,}5\cdot 2^{1-2x}$.

Найдите значение выражения $\sqrt{2}-\sqrt{8}\sin^2\dfrac{5\pi}{8}$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-2;\,10)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=x-17$ или совпадает с ней.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1+12t-5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 5 метров?

Васе надо решить 98 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

На рисунке изображены графики функций $f(x)=2x^2+11x+11$ и $g(x)=ax^2+bx+c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 85 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 50 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?

а) Решите уравнение $4\sin x\cos^2 x-1=\cos x\left(4\sin x-1\right)$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

В правильной треугольной пирамиде $MABC$ двугранный угол при основании равен $\arccos\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$. Через точку $K$ ребра $MC$ и вершины $A$ и $B$ проходит плоскость $\alpha$ так, что площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$ относится к площади основания как $3:5$.

а) Докажите, что прямая $MC$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

б) Найдите объём пирамиды $MABK$, если объём пирамиды $MABC$ равен $95\sqrt{11}$.

Решите неравенство $\dfrac{4x^3-27x+27}{5^{2x}-31\cdot 5^x+30}\geqslant 0$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\mathcal{E})=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\sqrt{\mathcal{E}}\,e^{-\frac{\mathcal{E}}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана, $\mathcal{E}$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\mathcal{E}$, при котором функция плотности $f(\mathcal{E})$ принимает наибольшее значение, если $T=600$ К.

На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $E$. Точка $F$ — середина отрезка $BE$, $G$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $CF$. Отношение площади треугольника $EFG$ к площади треугольника $ABC$ равно $1:10$.

а) Докажите, что $ED:AD=3:5$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $BDGF$, если $BC=10$, $AC=4\sqrt{13}$, $AB=6$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений

$$\begin{cases}\sqrt{x}\left(x^2-x+1\right)-yx^3=yx(1-x),\\y^2+(a-8)y+(a+1)(7-2a)=0\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Для натурального числа $n$ рассмотрим выражение

$$P(n)=n+s(n)+2s(s(n)),$$

где $s(m)$ — сумма цифр натурального числа $m$ (например, $P(999)=999+27+18=1044$).

а) Может ли $P(n)$ равняться 217 при некотором $n$?

б) Может ли $P(n)$ равняться 162 при некотором $n$?

в) Найдите все натуральные $n$, для которых $P(n)=2017$.