Вариант 36

Найдите хорду, на которую опирается угол $135^\circ$, вписанный в окружность радиуса $3\sqrt{2}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, координаты этих векторов — целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Объём треугольной пирамиды $SABC$, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, равен 14. Найдите объём шестиугольной пирамиды.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 30 качественных сумок приходится 2 сумки, имеющие скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.

В коробке 6 синих, 12 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Вычислите математическое ожидание случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X:\begin{pmatrix}1&2&4&8&16\\0{,}4&0{,}15&0{,}25&0{,}1&0{,}1\end{pmatrix}.$$

Решите уравнение $\log_2(x+5)=\log_4(1-x)$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt[24]{a}\,\sqrt[48]{a}}{a\sqrt[16]{a}}$ при $a=2{,}5$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f(x)$ параллельна прямой $y=3x+1$ или совпадает с ней.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=at^2+bt+H_0$, где $H_0=6{,}25$ м — начальный уровень воды, $a=\dfrac{1}{49}$ м/мин$^2$ и $b=-\dfrac{5}{7}$ м/мин — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним, со скоростью на 4 км/ч больше, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $f(x)=pa^x$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=32$.

В июле 2029 года Тимур планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 2150 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $r$ % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами по 1322,5 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\left(2x^2-15x+18\right)\left(\sin x\cdot\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+0{,}25\right)=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$.

На рёбрах $AB$ и $A_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT:TB=1:2$ и $A_1K=KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TA_1$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ делит это ребро в отношении $2:1$, считая от точки $A$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6\sqrt{7}$, $AA_1=3$.

Решите неравенство $\log_{0{,}2}^2(x+5)^4-4\log_{25}(x+5)^{12}\geqslant 40$.

На противоположных берегах прямого участка реки друг напротив друга на расстоянии $h$ расположены пристани А и Б (см. рисунок). Путник переправляется на лодке от пристани А на противоположный берег. Зная, что собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$ (лодку будет сносить течением), путник направляет лодку под углом $\alpha$ к направлению течения.

В итоге лодку сносит течением и путник прибывает к противоположному берегу реки в точку В, находящуюся от пристани Б на расстоянии $l$, которое выражается формулой

$$l=h\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha}.$$

Найдите наименьшее возможное расстояние $l$, если $h=48$ м, $u=2{,}5$ м/с, $v=2{,}4$ м/с.

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.

а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.

б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=4:3$, $AP:PB=3:2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}\left(\dfrac{|x-1|+|x+1|}{2}-7\right)^2+\left(\dfrac{|y-7|+|y+7|}{2}+1\right)^2=100,\\y=ax+8\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1$, $p_2$, ..., $p_k$ вычисляется по формуле $\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k}$.

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 36?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.