Вариант 34

Найдите угол $ACB$, если вписанные углы $ADB$ и $DAE$ опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно $116^\circ$ и $38^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(4;\,-1)$ и $\vec{b}(b_0;\,8)$. Найдите $b_0$, если $|\vec{b}|=2{,}5|\vec{a}|$. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 25. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ш. полетит вторым рейсом вертолёта.

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3 орла»?

Найдите стандартное отклонение случайной величины, имеющей распределение

$$\begin{pmatrix}2&4&6\\0{,}3&0{,}6&0{,}1\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $2{,}5^{2-3x}=0{,}16^{2x}$.

Найдите $45\cos 2\alpha$, если $\cos\alpha=-0{,}9$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=2\cdot10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=6\cdot10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=10$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=\alpha RC\log_2\dfrac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha=0{,}7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 16,8 с. Ответ дайте в киловольтах.

На изготовление 40 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 70 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

На рисунке изображён график функции $f(x)=p\sqrt{x+d}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=-6$.

В январе 2028 года Артём планирует открыть вклад на 3 года на целое число $S$ сотен тысяч рублей, а в январе 2029 и 2030 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 250 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет 20 % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $S$, если в январе 2031 года на вкладе должно быть 1 524 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $4\sqrt{3}\sin^3 x=\cos\left(2x+\dfrac{3\pi}{2}\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{9\pi}{2};\,6\pi\right]$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, $AP:AB=3:4$. На апофеме грани $BCP$ отметили точку $K$, которая делит эту апофему в отношении $1:4$, считая от точки $P$. Через точки $A$ и $K$ параллельно прямой $BC$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна апофеме грани $BCP$.

б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство $\left|\log_9(2x+1)^2-1\right|-\left|\log_3(1-x)-3\right|\geqslant 1$.

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону

$$U_L(\omega)=\dfrac{U L\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}},$$

где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в с$^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=311$ В, $L=0{,}015$ Гн, $C=10^{-4}$ Ф и $R=10$ Ом?

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.

а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=5$, $r=3$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}x^2+y^2=|2{,}7a|,\\y=a(x-a)\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе 1 и $A$).

а) Может ли $k$ быть равно 15?

б) Может ли $k$ быть равно 28?

в) Найдите все числа $A$, для которых $k\geqslant 30$.