Вариант 33

Угол $ACB$ равен $33^\circ$. Градусная мера дуги $AB$ окружности, не содержащей точек $D$ и $E$, равна $102^\circ$. Найдите угол $DAE$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(2;\,3)$ и $\vec{b}(-3;\,b_0)$. Найдите $b_0$, если $|\vec{b}|=1{,}5|\vec{a}|$. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара. Найдите объём шара.

В группе туристов 24 человека. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист З. полетит четвёртым рейсом вертолёта.

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?

Найдите стандартное отклонение случайной величины, имеющей распределение

$$\begin{pmatrix}2&4&6\\0{,}2&0{,}5&0{,}3\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $0{,}25^{2x-1}=8^{x+3}$.

Найдите $2\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha=-0{,}7$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f(x)$?

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=5\cdot10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=7\cdot10^{6}$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=36$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t=\alpha RC\log_2\dfrac{U_0}{U}$ (с), где $\alpha=0{,}8$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 84 с. Ответ дайте в киловольтах.

На изготовление 312 деталей первый рабочий тратит на 11 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x+p}$. Найдите $f(0{,}25)$.

В январе 2028 года Ульяна планирует открыть вклад на 3 года на целое число $S$ сотен тысяч рублей, а в январе 2029 и 2030 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 400 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет 10 % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $S$, если в январе 2031 года на вкладе должно быть 1 722,6 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $4\sqrt{3}\cos^3 x=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, $AP=1{,}3\,AB$. Через точку $A$ перпендикулярно апофеме грани $BCP$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит апофему грани $BCP$ в отношении $119:25$, считая от точки $P$.

б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Решите неравенство $\left|\log_4(x+1)^2-2\right|+\left|\log_2(2x+3)-1\right|\leqslant 3$.

При подключении источника переменного тока к цепи, состоящей из конденсатора, резистора и катушки индуктивности, амплитуда напряжения на катушке (в вольтах) подчиняется закону

$$U_L(\omega)=\dfrac{U L\omega}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}},$$

где $U$ — амплитуда напряжения на источнике тока, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота переменного тока (в с$^{-1}$), $R$ — сопротивление резистора, $C$ — ёмкость конденсатора. При какой частоте $\omega$ амплитуда напряжения на катушке будет наибольшей, если $U=311$ В, $L=0{,}018$ Гн, $C=10^{-5}$ Ф и $R=20$ Ом?

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.

а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=6$, $r=4$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}x^2+y^2=|1{,}6a|,\\y=ax-a^2\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе 1 и $A$).

а) Может ли $k$ быть равно 7?

б) Может ли $k$ быть равно 25?

в) Найдите наибольшее $k$.