Вариант 31

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $38^{\circ}$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ с целочисленными координатами. Найдите длину вектора $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Куб описан около сферы радиуса $8{,}5$. Найдите объём куба.

За круглый стол на 201 стул в случайном порядке рассаживаются 199 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

В таблице показано распределение случайной величины $X$. Найдите $EX$ — математическое ожидание этой случайной величины.

Вычислите стандартное отклонение случайной величины $Y$, которая подчиняется распределению

$$\begin{pmatrix}0&3\\0{,}5&0{,}5\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\log_{27}3^{2x+3}=2$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}}+\dfrac{7\sqrt{x}}{x}+5x-2$ при $x=3$.

Прямая $y=2x+37$ является касательной к графику функции $y=x^3+3x^2-7x+10$. Найдите абсциссу точки касания.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v=6$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u=\dfrac{m}{m+M}v\cos\alpha$ (м/с), где $m=80$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M=400$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $0{,}5$ м/с?

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=a\sqrt{x}$ и $g(x)=kx+b$, которые пересекаются в точке $A$. Найдите абсциссу точки $A$.

15-го июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 4 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма всех платежей составит 366 тысяч рублей?

а) Решите уравнение $256^{\sin x\cos x}-18\cdot 16^{\sin x\cos x}+32=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{9\pi}{2};\,6\pi\right]$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ через середины боковых рёбер $SA$ и $SB$ перпендикулярно основанию $ABC$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания пирамиды в отношении $5:1$, считая от вершины $C$.

б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$, основанием которой служит сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$, если $AB=60$, $SA=37$.

Решите неравенство $\dfrac{16^x-2^{3+2x}+16}{16^x-7\cdot 4^x+10}\geqslant 0$.

На берегах прямого участка реки друг напротив друга находятся пристани А и Б. Лодка начинает переправу от пристани А. Собственная скорость лодки $v$ меньше скорости течения реки $u$.

При переправе лодку сносит течением, и точка прибытия В находится от пристани Б на расстоянии, которое выражается формулой

$$L=H\cdot\dfrac{u+v\cos\alpha}{v\sin\alpha},$$

где $H$ — ширина реки, $\alpha$ — угол между вектором скорости лодки относительно воды и вектором скорости течения. Найдите наименьшее возможное расстояние от точки В до пристани Б, если $H=30$ м, $u=2{,}5$ м/с и $v=1{,}5$ м/с.

На диагонали $LN$ параллелограмма $KLMN$ отмечены точки $P$ и $Q$, причём $LP=PQ=QN$. Прямые $KP$ и $KQ$ пересекают прямую $LM$ в точках $R$ и $T$ соответственно.

а) Докажите, что $LR:RT=1:3$.

б) Найдите площадь параллелограмма $KLMN$, если площадь пятиугольника $PRMSQ$, где $S$ — точка пересечения прямой $KQ$ со стороной, равна 15.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\dfrac{4x^3-3ax^2+4\left(a^2-25\right)x-3a^3+75a}{\sqrt{x^2+a^2-9}}=0$$

имеет ровно два различных корня.

Одноклассники Петя и Вася играют в игру. Петя записывает на доске число $m$, а затем Вася выбирает нечётное натуральное число $n \gt 1$ и записывает на доске число

$$\left(1+\dfrac{2}{3^2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{2}{5^2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\dfrac{2}{n^2}\right).$$

Побеждает тот, чьё число окажется большим.

а) Кто победит, если $m=\dfrac{6}{5}$, $n=7$?

б) Кто победит, если $m=\dfrac{13}{10}$, $n=13$?

в) Кто победит, если $m=\dfrac{14}{5}$, $n=2023$?