Вариант 31

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=5$, $\sin A=0{,}28$. Найдите $AC$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $2\vec{b}$.

В цилиндрический сосуд налили 2100 см$^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 5 из Японии, 4 из Кореи, 9 из Китая и 7 из Индии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий третьим, окажется из Индии.

На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.

Всего выпущено 100 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline \text{Выигрыш} & 100\text{ р.} & 500\text{ р.} & 1000\text{ р.} & 50\text{ тыс. р.} & 100\text{ тыс. р.}\\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 500 & 100 & 50 & 10 & 1\\ \hline\end{array}$$

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $3^{\log_{27}(8x+4)}=4$.

Найдите значение выражения $\left(8^5\right)^3:\left(4^2\right)^9$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-8;\,3)$. Найдите промежутки возрастания функции $f(x)$. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}\,kt+\dfrac{g}{2}k^2t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=5$ м — начальная высота столба воды, $k=\dfrac{1}{700}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 621 литр она заполняет на 9 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 486 литров?

На рисунке изображён график функции $f(x)=ax+b$. Найдите $f(11)$.

В июле 2029 года Эльдар планирует взять кредит в банке на 3 года в размере 496,5 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 10 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

а) Решите уравнение $\sin x\cdot\cos 2x-\sqrt{3}\cos^2x+\sin x=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.

а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.

б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.

Решите неравенство $2^{-2\sqrt{x}}+32\cdot10^{2-\sqrt{x}}>2^{9-2\sqrt{x}}+625\cdot10^{-2-\sqrt{x}}$.

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=30$ В и внутренним сопротивлением $r=3$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. Найдите наибольшую возможную тепловую мощность $P$, которую может выделять зарядная станция.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.

а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.

б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{12}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}(xy-3x+9)\cdot\sqrt{y-3x+9}=0,\\y=4x+a\end{cases}$$

имеет ровно два различных решения.

В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22 %.

а) Может ли в этом классе быть 4 девочки?

б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?

в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?