Вариант 30

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, $AB=25$, $\sin A=\dfrac{\sqrt{51}}{10}$. Найдите $AC$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с целочисленными координатами. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1500 см$^3$ воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 24 пассажиров, равна $0{,}86$. Вероятность того, что окажется меньше 11 пассажиров, равна $0{,}63$. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 11 до 23 включительно.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что при каждом отдельном выстреле вероятность промаха равна $0{,}6$. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее $0{,}8$?

Найдите дисперсию случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X\sim\begin{pmatrix}1&2&4\\0{,}2&0{,}6&0{,}2\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\sqrt{42-3x}=3$.

Найдите значение выражения, если $\dfrac{18\sin 40^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-7;\,5)$. Найдите сумму точек экстремума функции $f(x)$.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 5.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

$$R=\dfrac{4In+Op+2Tr+Q}{A}.$$

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Часы со стрелками показывают 8 часов 55 минут. Через сколько минут минутная стрелка в третий раз поравняется с часовой?

На рисунке изображён график функции $f(x)=a\sin x+b$. Найдите $a$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 37 712 тысячам рублей. Найдите $S$. Ответ дайте в тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\dfrac{29\cos^2\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)-21\sin(x-\pi)}{29\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-20}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\,0\right]$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=2\sqrt{5}$ и $BC=4$. Длины боковых рёбер пирамиды $SA=10$, $SB=2\sqrt{30}$, $SD=2\sqrt{29}$.

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

Решите неравенство $\log_{\sqrt{49x^2-28x+4}}(7x-2)^2+\log_{3}81^{(7x-2)^2}\leqslant 6$.

Распределение скорости молекулы водорода при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}004\ \dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса водорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=300$ К?

Точка $P$ лежит на стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BP$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Хорды $MF$ и $NE$ параллельны прямой $BP$. Отрезки $FP$ и $EP$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $T$ и $S$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $APT$ и $CSP$ подобны.

б) Найдите отношение, в котором точка $P$ делит отрезок $AC$, если площади треугольников $APT$ и $CSP$ относятся как $49:64$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\dfrac{3x^3-(a+24)x^2+a(8+3a)x-a^3}{\sqrt{8-x+a}}=0$$

имеет ровно одно решение.

Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили натуральное число $A$.

а) Может ли $A$ равняться 108?

б) Может ли $A$ равняться 1989?

в) Найдите все натуральные числа, кратные 3, для которых $A=31\,203$.