Вариант 30

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $112^\circ$, угол $ABD$ равен $38^\circ$. Найдите угол $CAD$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(-14;\,2)$ и $\vec{b}(3;\,-21)$. Найдите косинус угла между ними.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $D$, $E$, $C_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов: 8 прыгунов из Кореи, 10 из Китая, остальные из Вьетнама. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым будет выступать прыгун из Вьетнама.

Из 10 билетов 2 являются выигрышными. Наугад берут 3 билета. Найдите вероятность того, что среди них хотя бы один окажется выигрышным. Ответ округлите до сотых.

Известно, что случайная величина $Y$ подчиняется распределению

$$Y:\begin{pmatrix}5&6&7&8&9&10\\0{,}25&0{,}25&0{,}2&0{,}15&0{,}1&0{,}05\end{pmatrix}.$$

Найдите вероятность события $6<Y\leqslant 9$.

Найдите корень уравнения $\log_4(8-5x)=2\log_4 3$.

Найдите значение выражения $\sqrt{50}-\sqrt{200}\sin^2\dfrac{13\pi}{8}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-5;\,9)$. Найдите количество решений уравнения $f'(x)=0$ на отрезке $[4;\,9]$.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A=\alpha\rho gr^3$, где $\alpha=4{,}2$ — постоянная, $\rho=1000$ кг/м$^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=10$ Н/кг), а $r$ — радиус аппарата в метрах. Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем 447 216 Н? Ответ дайте в метрах.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 4 дня?

На рисунке изображён график функции $f(x)=b+k\sqrt{x}$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=0$.

В июле 2028 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 3 года в размере 900 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 16 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2029 и 2030 года долг должен быть на 40 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение $\sqrt{16-25x^2}\cdot\left(9^{3x+2}-163\cdot27^x+2\right)=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0{,}4;\,4]$.

В правильной пирамиде $SABC$ на стороне $BC$ основания $ABC$ и боковом ребре $AS$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ такие, что $BP:PC=AK:KS=2:1$. Через точки $P$ и $K$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $\alpha$ разделила пирамиду $SABC$.

Решите неравенство $\left(2x^2+9x+10\right)\left(\dfrac{1}{3}\log_{0{,}5}\left(x^2-5\right)+\log_8\left(\sqrt{5}-x\right)\right)\geqslant 0$.

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой

$$A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\tau^2T^2}}.$$

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0<n<0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=16$ с?

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в три раза меньше площади квадрата.

а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=\sqrt{3}$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}\sqrt{a+x^2}=\sqrt{a+y^2},\\x^2+y^2=4|x|-4y+16\end{cases}$$

имеет ровно два решения.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;

— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?

б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?

в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.