Вариант 3

Основания трапеции равны 13 и 19. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, координаты у которых — целые числа. Найдите длину вектора $\vec{a}+2\vec{b}$.

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 1,5 и 2 соответственно. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Из множества натуральных чисел от 12 до 36 (включительно) наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 6?

Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура окажется выше $+22\,^\circ$C, равна 0,27. Вероятность того, что температура окажется ниже $+25\,^\circ$C, равна 0,87. Найдите вероятность того, что температура в помещении окажется в промежутке от $+22\,^\circ$C до $+25\,^\circ$C.

Случайная величина $Z$ распределена по закону

$$\begin{pmatrix}0&2\\0{,}7&0{,}3\end{pmatrix}.$$

Найдите дисперсию случайной величины $Z$.

Найдите корень уравнения $\log_8 32^{5-x}=4$.

Найдите значение выражения $\dfrac{6\sin95^\circ\cdot\cos95^\circ}{\sin170^\circ}$.

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)=0{,}2t^2+t+1{,}5$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=6$ с.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1^{1{,}4}=p_2V_2^{1{,}4}$, где $p_1$ и $p_2$ — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$ — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 2,4 л, а давление газа равно 0,5 атмосфер. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 64 атмосферы? Ответ дайте в литрах.

Каждый из трёх рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 2 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, а ещё через полчаса — третий рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

На рисунке изображены графики функций $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$, которые пересекаются в точках $A(1;\,-4)$ и $B(x_B;\,y_B)$. Найдите $x_B$.

В январе 2031 года Ирина планирует открыть вклад на 2 года на 850 тыс. рублей, а в январе 2032 года дополнительно внести на этот вклад ещё 350 тыс. рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет $r$ % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $r$, если в январе 2033 года на вкладе должно быть 1549,76 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $4^{x^3-x^2+3x-0{,}5}+4^{x^3+x^2-3x+2{,}5}-5\cdot2^{2x^3+1}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0{,}4;\,1{,}4]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$, которая пересекла ребро $AA_1$ в точке $N$ и разбила призму на два многогранника с равными объёмами.

а) Докажите, что $AN:NA_1=3:1$.

б) Через точку $B$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость, которая пересекла рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $P$ соответственно так, что объём многогранника $ABCKP$ в 3 раза меньше объёма призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите косинус угла между плоскостями $\alpha$ и $BKP$, если $AB:AA_1=3:2$.

Решите неравенство $\log_{\sqrt{2}}^4\left(24-x^2\right)-192\log_4^2\left(24-x^2\right)\geqslant 64$.

К блоку солнечных панелей с электродвижущей силой $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=0{,}8$ Ом подключена зарядная станция. Сила тока в цепи при этом подключении определяется законом Ома:

$$I=\dfrac{\varepsilon}{r+R},$$

где $R$ — сопротивление зарядной станции (в омах).

Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на зарядной станции, по закону Джоуля — Ленца равна $P=I^2R$. При каком сопротивлении $R$ зарядной станции выделяемая на ней тепловая мощность $P$ будет наибольшей?

В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отметили точку $E$. Лучи $DB$ и $DE$ делят угол $ADC$ на три равные части. Отрезок $BD$ пересекает отрезки $AC$ и $AE$ в точках $O$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $NO=\dfrac{AB}{5}$.

б) Прямые $AC$ и $DE$ пересекаются в точке $P$. Найдите отношение площадей фигур, на которые прямая $BD$ делит треугольник $AEP$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{16-x^4}+2=ax^2-9a$$

имеет ровно два решения.

Чёрный маркер стоит 23 рубля, синий — 27 рублей, красный — 31 рубль, зелёный — 35 рублей. На 1000 рублей покупают эти маркеры, соблюдая условие: если $n_1$, $n_2$, $n_3$, $n_4$ — количество купленных маркеров какого-то цвета и $n_1\geqslant n_2\geqslant n_3\geqslant n_4$, то $n_k-n_{k+1}\leqslant 2$ (для $k=1;\,2;\,3$).

а) Можно ли купить 30 маркеров?

б) Можно ли купить 40 маркеров?

в) Какое наименьшее количество маркеров можно купить, если сдача с покупки будет меньше стоимости самого дешёвого маркера?