Вариант 29

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $73^\circ$, угол $CAD$ равен $55^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(-6;\,-8)$ и $\vec{b}(12;\,9)$. Найдите косинус угла между ними.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $D$, $E_1$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, площадь основания которой равна 18, а боковое ребро равно 6.

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменов: 17 из Перу, 22 из Чили, остальные из Мексики. Порядок, в котором выступают гимнасты, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Мексики.

Из 10 билетов 2 являются выигрышными. Наугад берут 4 билета. Найдите вероятность того, что среди них окажется ровно один выигрышный. Ответ округлите до сотых.

Известно, что случайная величина $Y$ подчиняется распределению

$$Y:\begin{pmatrix}4&6&8&10&12&14\\0{,}05&0{,}1&0{,}15&0{,}2&0{,}25&0{,}25\end{pmatrix}.$$

Найдите вероятность события $8\leqslant Y\leqslant 13$.

Найдите корень уравнения $\log_2(4-5x)=3\log_2 3$.

Найдите значение выражения $5\sin\dfrac{7\pi}{12}\cdot\cos\dfrac{7\pi}{12}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-4;\,7)$. Определите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A=\rho gl^3$, где $\rho=1000$ кг/м$^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g=9{,}8$ Н/кг), а $l$ — длина ребра куба в метрах. Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше чем 893 025 Н? Ответ дайте в метрах.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?

На рисунке изображён график функции $f(x)=b+k\sqrt{x}$. Найдите $f(9)$.

В июле 2028 года Марина планирует взять кредит в банке на 3 года в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 15 % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2029 и 2030 года долг должен быть на 25 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита?

а) Решите уравнение $\sqrt{4x^2-1}\cdot\left(4^{3x+1}-26\cdot8^x+12\right)=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1;\,1]$.

В правильной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ на стороне основания $AC$ и боковом ребре $SB$ отметили соответственно точки $E$ и $N$ такие, что $AE:EC=SN:NB=1:2$. Через точки $E$ и $N$ параллельно прямой $AB$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.

б) Плоскость $\alpha$ разделила пирамиду $SABC$ на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка $A$, если $AB=6$, $AS=3\sqrt{3}$.

Решите неравенство $x^2\cdot\log_{125}(2-3x)+\log_{0{,}2}\left(9x^2-12x+4\right)<0$.

Круизный лайнер стоит в океане бортом к волне. Под действием волн он испытывает вынужденные поперечные колебания. Зависимость амплитуды этих колебаний (в градусах) от периода волны $\tau$ (в секундах) выражается формулой

$$A(\tau)=k\theta_0\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\tau^2T^2}}.$$

Коэффициент $k$ определяется отношением ширины лайнера к длине волны, $\theta_0$ — угол наибольшего волнового склона, $T$ — период свободных поперечных колебаний лайнера на тихой воде, $n$ — числовой коэффициент $(0<n<0{,}5)$. При каком периоде волны $\tau$ амплитуда вынужденных колебаний лайнера будет наибольшей, если $T=14{,}6$ с?

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.

а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=2$.

б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}\sqrt{a+x^2}=\sqrt{a+y^2},\\x^2+y^2=2x+2|y|+4\end{cases}$$

имеет ровно два решения.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;

— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?

б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?

в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.