Вариант 28

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, $AB=35$, $\sin A=\dfrac{4}{5}$. Найдите $AC$.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с целочисленными координатами. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см³ воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна $0{,}81$. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна $0{,}56$. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 19 включительно.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что при каждом отдельном выстреле вероятность промаха равна $0{,}7$. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее $0{,}6$?

Найдите дисперсию случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X\sim\begin{pmatrix}1&3&5\\0{,}3&0{,}4&0{,}3\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\sqrt{53-4x}=7$.

Найдите значение выражения $\dfrac{4\sin 112^{\circ}\cdot\cos 112^{\circ}}{\sin 224^{\circ}}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(-6;\,8)$. Найдите сумму точек экстремума функции $f(x)$.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $-2$ до 2.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

$$R=\dfrac{4In+Op+3Tr+Q}{A}.$$

Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Часы со стрелками показывают 4 часа 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в седьмой раз поравняется с часовой?

На рисунке изображён график функции $f(x)=a\sin x+b$. Найдите $a$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере $S$ тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 20 % меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2032 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 31 808 тысячам рублей. Найдите $S$. Ответ дайте в тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\dfrac{17\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)-8\cos(3\pi+x)}{17\sin(5\pi-x)-15}=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\,-\pi\right]$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=12$ и $BC=2\sqrt{13}$. Длины боковых рёбер пирамиды $SA=16$, $SB=20$, $SD=2\sqrt{77}$.

а) Докажите, что прямые $SA$ и $BD$ перпендикулярны.

б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

Решите неравенство $\log_{\sqrt{9x^2+64-48x}}(8-3x)^8+\log_{5}25^{(3x-8)^2}\leqslant 40$.

Распределение скорости молекулы водорода при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}002$ кг/моль — молярная масса водорода, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=500$ К?

Точка $P$ лежит на стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$. Окружность с диаметром $BP$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Хорды $MF$ и $NE$ параллельны прямой $BP$. Отрезки $FP$ и $EP$ пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $T$ и $S$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $APT$ и $CSP$ подобны.

б) Найдите отношение, в котором точка $P$ делит отрезок $AC$, если площади треугольников $APT$ и $CSP$ относятся как $16:25$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\dfrac{5x^3-(a+60)x^2+a(12+5a)x-a^3}{\sqrt{12-x+a}}=0$$

имеет ровно одно решение.

Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили натуральное число $A$.

а) Может ли $A$ равняться 126?

б) Может ли $A$ равняться 2988?

в) Найдите все чётные натуральные числа, для которых $A=15\,372$.