Вариант 28

В треугольнике со сторонами 16 и 20 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна 14. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, координаты этих векторов — целые числа. Найдите скалярное произведение $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}$.

Шар вписан в цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь поверхности шара.

За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 девочек и 2 мальчика. Найдите вероятность того, что мальчики не будут сидеть рядом.

Игральный кубик бросают два раза. Во сколько раз вероятность события «оба раза выпадет нечётное количество очков» больше вероятности события «выпадет разное нечётное количество очков»?

Найдите дисперсию случайной величины $X$, если известно её распределение:

$$X:\begin{pmatrix}1&2&5\\0{,}3&0{,}4&0{,}3\end{pmatrix}.$$

Найдите корень уравнения $\sqrt{\dfrac{9}{3x+7}}=1{,}2$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите значение выражения $8^{0{,}45}\cdot32^{0{,}33}$.

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$. Найдите абсциссу точки, принадлежащей отрезку $[-4;\,2]$, в которой касательная к графику $y=f(x)$ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,9 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с? Ответ дайте в метрах.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 60 килограммов изюма, если виноград содержит 90 % воды, а изюм содержит 5 % воды?

На рисунке изображён график функции $f(x)=c+\log_a x$. Найдите значение $x$, при котором $f(x)=1$.

В январе 2029 года Николай планирует открыть вклад на 3 года на 1 миллион рублей, а в январе 2030 и 2031 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по $S$ млн рублей. Банк в декабре каждого года действия вклада начисляет 20 % на сумму, находящуюся на вкладе. Начисленные проценты при этом остаются на вкладе, увеличивая сумму вклада.

Найдите $S$, если в январе 2032 года на вкладе должно быть 3,312 млн рублей.

а) Решите уравнение $\dfrac{4\cos^3x-6\cos x}{\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)}=3$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,4\pi\right]$.

В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания $ABC$ равна $2\sqrt{2}$, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt{2}$. На рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$ соответственно отмечены точки $N$, $K$ и $P$ так, что $AN:NA_1=B_1K:KB=C_1P:PA_1=2:1$. Плоскость $KNP$ пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $F$.

а) Докажите, что точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$.

б) Найдите расстояние от точки $F$ до плоскости $CNK$.

Решите неравенство $\dfrac{x}{\sqrt{4x^2-x^4}}\leqslant\dfrac{1}{x+3}$.

Распределение скорости молекулы метана при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(v)=4\pi v^2\left(\dfrac{M}{2\pi RT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{Mv^2}{2RT}}$$

(распределение Максвелла). В этой формуле $v$ — скорость молекулы в м/с, $R$ — универсальная газовая постоянная, $M=0{,}016\,\dfrac{\text{кг}}{\text{моль}}$ — молярная масса метана, $T$ — температура газа в кельвинах. При каком значении скорости $v$ функция плотности принимает наибольшее значение, если $T=600$ К?

В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен 24, $\angle BAC=60^\circ$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств

$$\begin{cases}(x+2a)^2+(a-y)^2\leqslant5-a,\\x+y\leqslant|a+2|\end{cases}$$

имеет единственное решение.

Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?

б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?

в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$ так, что $m_1\geqslant m_2\geqslant m_3$. Найдите наименьшее такое число $d$, что $m_1-m_2\leqslant d$ и $m_2-m_3\leqslant d$.