Вариант 26

В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен 36, вписана окружность, $AB=7$. Найдите $CD$.

Даны векторы $\vec{a}(-5;\,-2)$ и $\vec{b}(b_0;\,-1)$. Найдите $b_0$, если $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$.

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 5 раз больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

На олимпиаде по химии 400 участников собираются разместить в четырёх аудиториях: в трёх — по 110 человек, а оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник будет писать олимпиаду в запасной аудитории.

На двух линиях выпускают одинаковые лампы. Первая линия выпускает в два раза больше ламп, чем вторая, но вероятность брака на первой линии равна 0,1, а на второй — 0,04. Все лампы поступают на склад. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лампа на складе окажется не бракованной.

Страховая компания заключает с клиентами страховые договоры (полисы). При наступлении страхового случая клиент получает выплату 400 тысяч рублей. Вероятность события «выплата по отдельно взятому договору» равна 0,02. Математическое ожидание случайной величины «доход страховой компании от продажи одного полиса» равно 3000 рублей. Найдите стоимость полиса. Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $16^{8x+2}=8^{5-x}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_2 40}{3+\log_2 5}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$, определённый на интервале $(-1;\,10)$. Определите количество целых точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v=3{,}6$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью

$$u=\dfrac{m}{m+M}\,v\cos\alpha\ \text{(м/с)},$$

где $m=75$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M=375$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 11 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

В июле 2028 года Ульяна планирует взять кредит в банке на 2 года в размере 1,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на $r$ % от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2030 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$, если общая сумма платежей по кредиту должна составить 1912 тыс. рублей.

а) Решите уравнение $\log_{25}^2\left(x^4\right)+\log_{0{,}2}\left(x^8\right)+3=0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2{,}3;\,11{,}3]$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ является высотой пирамиды. На рёбрах $BC$, $CD$ и $SC$ соответственно отмечены точки $K$, $N$ и $F$ так, что $BK:KC=CN:ND=3:1$, $CF:FS=3:13$.

а) Докажите, что прямая $AS$ параллельна плоскости $FNK$.

б) Найдите объём пирамиды $SFNK$, если $AB=AS=8$.

Решите неравенство $2^{2x}\cdot5^{\frac{1}{x}}\geqslant 20$.

Распределение кинетической энергии молекул гелия при тепловом движении имеет функцию плотности

$$f(\varepsilon)=2\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\pi}}\cdot\left(\dfrac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\frac{\varepsilon}{kT}},$$

где $k=1{,}38\cdot10^{-23}\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{К}}$ — постоянная Больцмана, $\varepsilon$ — кинетическая энергия молекулы в джоулях, $T$ — температура газа в кельвинах. Найдите значение кинетической энергии $\varepsilon$, при котором функция плотности $f(\varepsilon)$ принимает наибольшее значение, если $T=75$ К?

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.

а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.

б) Найдите $AC:AP$, если $AB:BC=3:8$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases}(6-x)^2+(y+6)^2=(0{,}5-a)^2-2(x+y+1),\\|x+2|-|1-2y|=3\end{cases}$$

имеет ровно четыре решения.

Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.

В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается $10a+4b+c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.

В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-2 — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:

— $a_1>a_2$,

— $a_1=a_2$ и $b_1>b_2$,

— $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ и $c_1>c_2$.

Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпало, то рейтинги у них были одинаковые.

а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?

б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше $p$. Найдите наибольшее возможное значение $p$.

в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.